题号:1315    题型:解答题    来源:2022年上海市中考数学试卷
平行四边形 $A B C D$, 若 $P$ 为 $B C$ 中点, $A P$ 交 $B D$ 于点 $E$, 连接 $C E$.(1) 若 $A E=C E$,
(1)证明 $A B C D$ 为菱形;
(2) 若 $A B=5, A E=3$, 求 $B D$ 的长.
(2) 以 $\mathrm{A}$ 为圆心, $A E$ 为半径, $B$ 为圆心, $B E$ 为半径作圆, 两圆另一交点记为点 $F$, 且$C E=\sqrt{2} A E$. 若 $F$ 在直线 $C E$ 上, 求 $\frac{A B}{B C}$ 的值.
0 条评论 分享 0 人点赞 收藏 ​ ​ 588 次查看 我来讲解
答案:
(1)如图,连接$AC$交$BD$于$O$


$\because$ 平行四边形 $A B C D$,
$\therefore O A=O C$,
$\because A E=C E, O E=O E$,
$\therefore \triangle A O E \cong \triangle C O E(\mathrm{SSS})$,
$\therefore \angle A O E=\angle C O E$,
$\because \angle A O E+\angle C O E=180^{\circ}$,
$\therefore \angle C O E=90^{\circ}$,
$\therefore A C \perp B D$,
$\because$ 平行四边形 $A B C D$,
$\therefore$ 四边形 $A B C D$ 是菱形;
(2) $\because O A=O C$,
$\therefore O B$ 是 $\triangle A B C$ 的中线,
$\because P$ 为 $B C$ 中点,
$\therefore A P$ 是 $\triangle A B C$ 的中线,
$\therefore$ 点 $E$ 是 $\triangle A B C$ 的重心,
$\therefore B E=2 O E$,
设 $O E=x$, 则 $B E=2 x$,
在 Rt $\triangle A O E$ 中, 由勾股定理, 得 $O A^{2}=A E^{2}-O E^{2}=3^{2}-x^{2}=9-x^{2}$,
在 Rt $\triangle A O B$ 中, 由勾股定理, 得 $O A^{2}=A B^{2}-O B^{2}=5^{2}-(3 x)^{2}=25-9 x^{2}$,
$\therefore 9-x^{2}=25-9 x^{2}$,
解得: $x=\sqrt{2}$,
$\therefore O B=3 x=3 \sqrt{2}$,
$\because$ 平行四边形 $A B C D$,
$\therefore B D=2 O B=6 \sqrt{2}$;


(2)
解: 如图,



$\because \odot A$ 与 $\odot B$ 相交于 $E 、 F$,
$$
\therefore A B \perp E F \text {, }
$$
由(1)(2)知点 $E$ 是 $\triangle A B C$ 的重心,
又 $F$ 在惪线 $C E$ 上,
$\therefore C G$ 是 $\triangle A B C$ 的中线,

$$
\begin{aligned}
&\therefore A G=B G=\frac{1}{2} A B, \quad G E=\frac{1}{2} C E, \\
&\because C E=\sqrt{2} A E, \\
&\therefore G E=\frac{\sqrt{2}}{2} A E, C G=C E+G E=\frac{3 \sqrt{2}}{2} A E,
\end{aligned}
$$
在 Rt $\triangle A G E$ 中, 由勾股定理, 得
$$
\begin{aligned}
&A G^{2}=A E^{2}-G E E=A E^{2}-\left(\frac{\sqrt{2}}{2} A E\right)^{2}=\frac{1}{2} A E^{2} \\
&\therefore A G=\frac{\sqrt{2}}{2} A E, \\
&\therefore A B=2 A G=\sqrt{2} A E,
\end{aligned}
$$
在 Rt $\triangle B G C$ 中, 由勾股定理, 得
$$
\begin{aligned}
&B C^{2}=B G^{2}+C G^{2}=\frac{1}{2} A E^{2}+\left(\frac{3 \sqrt{2}}{2} A E\right)^{2}=5 A E^{2}, \\
&\therefore B C=\sqrt{5} A E \\
&\therefore \frac{A B}{B C}=\frac{\sqrt{2} A E}{\sqrt{5} A E}=\frac{\sqrt{10}}{5} .
\end{aligned}
$$
①因本站题量较多,无法仔细核对每一个试题,如果试题有误,请点击 编辑进行更正。
②如果您有更好的解答,可以点击 我要评论进行评论。
③如果您想挑战您的朋友,点击 我要分享 下载题目图片发给好友。

关闭