题号:1314    题型:解答题    来源:2022年上海市中考数学试卷
已知: $y=\frac{1}{2} x^{2}+b x+c$ 经过点 $A(-2,-1), B(0,-3)$.
(1)求函数解析式;
(2) 平移抛物线使得新顶点为 $P(m, n) \quad(m > 0)$.
(1)倘若 $S_{\triangle O P B}=3$, 且在 $x=k$ 的右侧, 两抛物线都上升, 求 $k$ 的取值范围;
(2) $P$ 在原拋物线上, 新抛物线与 $y$ 轴交于 $Q, \angle B P Q=120^{\circ}$ 时, 求 $P$ 点坐标.
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答案:
【分析】
(1)把 $A(-2,-1), B(0,-3)$ 代入 $y=\frac{1}{2} x^{2}+b x+c$, 求解即可;
(2) (1) 由 $y=\frac{1}{2} x^{2}-3$, 得顶点坐标为 $(0,-3)$, 即点 $B$ 是原抛物线的顶点, 由平移得拋物线 向右平移了 $m$ 个单位, 根据 $S_{\triangle O P B}=\frac{1}{2} \times 3 m=3$, 求得 $m=2$, 在 $x=k$ 的右侧, 两抛物线都上 升, 根据抛物线的性质即可求出 $k$ 取值范围;
(2)把 $P(m, n)$ 代入 $y=\frac{1}{2} x^{2}-3$, 得 $n=\frac{1}{2} m^{2}-3$, 则 $P\left(m, \frac{1}{2} m^{2}-3\right)$, 从而求得新抛物线 解析式为: $y=\frac{1}{2}(x-m)^{2}+n=\frac{1}{2} x^{2}-m x+m^{2}-3$, 则 $Q\left(0, m^{2}-3\right)$, 从而可求得 $B Q=m^{2}$,

$$
B P^{2}=m^{2}+\left(\frac{1}{2} m^{2}-3+3\right)^{2}=m^{2}+\frac{1}{4} m^{4}, P Q^{2}=m^{2}+\left[\left(\frac{1}{2} m^{2}-3\right)-\left(m^{2}-3\right)\right]^{2}=m^{2}+\frac{1}{4} m^{4} \text {, 即可得出 }
$$
$B P=P Q$, 过点 $P$ 作 $P C \perp y$ 轴于 $C$, 则 $P C=|m|$, 根据等腰三角形的性质可得 $B C=\frac{1}{2} B Q=\frac{1}{2} m^{2}$,
$\angle B P C=\frac{1}{2} \angle B P Q=\frac{1}{2} \times 120^{\circ}=60^{\circ}$, 再根据 $\tan \angle B P C=\tan 60^{\circ}=\frac{B C}{P C}=\frac{\frac{1}{2} m^{2}}{|m|}=\sqrt{3}$, 即可求出 $m$ 值, 从而求出点 $P$ 坐标.
(1)
解:把 $A(-2,-1), B(0,-3)$ 代入 $y=\frac{1}{2} x^{2}+b x+c$, 得
$\left\{\begin{array}{l}-1=2-2 b+c \\ -3=c\end{array}\right.$, 解得: $\left\{\begin{array}{l}b=0 \\ c=-3\end{array},\right.$,
$\therefore$ 函数解析式为: $y=\frac{1}{2} x^{2}-3$;
(2)
解: (1) $\because y=\frac{1}{2} x^{2}-3$,
$\therefore$ 顶点坐标为 $(0,-3)$, 即点 $B$ 是原拋物线的顶点,
$\because$ 平移抛物线使得新顶点为 $P(m, n)(m > 0)$.
$\therefore$ 抛物线向右平移了 $m$ 个单位,
$$
\begin{aligned}
&\therefore S_{\triangle O P B}=\frac{1}{2} \times 3 m=3, \\
&\therefore m=2,
\end{aligned}
$$
$\therefore$ 平移拋物线对称轴为直线 $x=2$, 开口向上,
$\because$ 在 $x=k$ 的右侧, 两拋物线都上升,
又 $\because$ 原抛物线对称轴为 $y$ 轴, 开口向上,
$\therefore k \geq 2$,
(2)把 $P(m, n)$ 代入 $y=\frac{1}{2} x^{2}-3$, 得 $n=\frac{1}{2} m^{2}-3$,
$$
\therefore P\left(m, \quad \frac{1}{2} m^{2}-3\right)
$$
根据题意, 得新抛物线解析式为: $y=\frac{1}{2}(x-m)^{2}+n=\frac{1}{2} x^{2}-m x+m^{2}-3$,
$$
\begin{aligned}
&\therefore Q\left(0, m^{2}-3\right), \\
&\because B(0,-3),
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
&\therefore B Q=m^{2}, B P^{2}=m^{2}+\left(\frac{1}{2} m^{2}-3+3\right)^{2}=m^{2}+\frac{1}{4} m^{4}, \\
&P Q^{2}=m^{2}+\left[\left(\frac{1}{2} m^{2}-3\right)-\left(m^{2}-3\right)\right]^{2}=m^{2}+\frac{1}{4} m^{4}, \\
&\therefore B P=P Q,
\end{aligned}
$$
如图, 过点 $P$ 作 $P C \perp y$ 轴于 $C$, 则 $P C=|m|$,

$$
\begin{aligned}
&\because B P=P Q, \quad P C \perp B Q, \\
&\therefore B C=\frac{1}{2} B Q=\frac{1}{2} m^{2}, \angle B P C=\frac{1}{2} \angle B P Q=\frac{1}{2} \times 120^{\circ}=60^{\circ}, \\
&\therefore \tan \angle B P C=\tan 60^{\circ}=\frac{B C}{P C}=\frac{\frac{1}{2} m^{2}}{|m|}=\sqrt{3},
\end{aligned}
$$
解得: $m=\pm 2 \sqrt{3}$,
$$
\therefore n=\frac{1}{2} m^{2}-3=3,
$$
故 $P$ 的坐标为 $(2 \sqrt{3}, 3)$ 或 $(-2 \sqrt{3}, 3)$
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