题号:1311    题型:解答题    来源:2022年上海市中考数学试卷
一个一次函数的截距为 1 , 且经过点 $A(2,3)$.
(1)求这个一次函数的解析式;
(2) 点 $A, B$ 在㭉个反比例函数上, 点 $B$ 横坐标为 6 , 将点 $B$ 向上平移 2 个单位得到点 $C$, 求 $\cos \angle A B C$ 的值.
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答案:
(1)
解: 设这个一次函数的解析式 $y=k x+1$, 把 $A(2,3)$ 代入, 得 $3=2 k+1$,
解得: $k=1$,
$\therefore$ 这个一次函数的解析式为 $y=x+1$;
( 2 )
解: 如图,

把 $A(2,3)$ 代入, 得 $3=\frac{m}{2}$,
解得: $m=6$,
$\therefore$ 反比例函数解析式为 $y=\frac{6}{x}$,
当 $x=6$ 时, 则 $y=\frac{6}{6}=1$,
$$
\begin{aligned}
&\therefore B(6,1), \\
&\therefore A B=\sqrt{(6-2)^{2}+(1-3)^{2}}=2 \sqrt{5},
\end{aligned}
$$
$\because$ 将点 $B$ 向上平移 2 个单位得到点 $C$,
$$
\therefore C(6,3), B C=2 \text {, }
$$
$$
\because A(2,3), C(6,3) \text {, }
$$
$\therefore A C / / x$ 轴,
$\because B(6,1), C(6,3)$,
$\therefore B C \perp x$ 轴,
$\therefore A C \perp B C$,
$\therefore \angle A C B=90^{\circ}$,
$\therefore \triangle A B C$ 是直角三角形,
$\therefore \cos \angle A B C=\frac{B C}{A B}=\frac{2}{2 \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5} .$

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