题号:1290    题型:解答题    来源:2002年全国硕士研究生入学统一考试数学
类型:考研真题
设总体 $X$ 的概率分布为

其中 $\theta\left(0 < \theta < \frac{1}{2}\right)$ 是末知参数, 利用总体 $X$ 的如下样本值
$3,1,3,0,3,1,2,3$,
求 $\theta$ 的矩估计值和最大似然估计值.
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答案:
矩估计的实质在于用样本矩来估计相应的总体矩, 此题中被估参数只有一个, 故只需要用样本一阶原点矩(样本均值)来估计总体的一阶原点矩(期望)
最大似然估计, 实质上就是找出使似然函数最大的那个参数, 问题的关键在于构造似然 函数.
【详解】矩估计:由离散型随机变量期望的定义 $E(X)=\sum_{i=1}^{n} x_{i} P\left(X=x_{i}\right)$, 有:
$$
E(X)=0 \times \theta^{2}+1 \times 2 \theta(1-\theta)+2 \times \theta^{2}+3 \times(1-2 \theta)=3-4 \theta
$$
样本均值 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}=\frac{1}{8} \times(3+1+3+0+3+1+2+3)=2$
用样本均值估计期望有 $E X=\bar{X}$, 即 $3-4 \theta=2$. 解得的矩估计值为 $\hat{\theta}=\frac{1}{4}$.
由离散型随机变量似然函数的定义: 设 $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ 是相应于样本 $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}$ 的一组 观测值, 则似然函数为:

$$
L(\theta)=P\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} ; \theta\right)=\prod_{i=1}^{n} P\left(x_{i} ; \theta\right)
$$
由于样本值中 0 出现一次, 故用 0 的对应概率 $\theta^{2}$ 一次. 样本值中数值 1 出现二次, 故 用两个 $2 \theta(1-\theta)$ 相乘, 数值 2 出现一次, 故用 2 的对应概率 $\theta^{2}$ 一次, 数值 3 出现四次, 故 用 $(1-2 \theta)^{4}$.
总之, 对于给定的样本值的似然函数为:
$$
L(\theta)=\theta^{2} \cdot[2 \theta(1-\theta)]^{2} \cdot \theta^{2} \cdot(1-2 \theta)^{4}=4 \theta^{6}(1-\theta)^{2}(1-2 \theta)^{4}
$$
$L(\theta) > 0$, 等式两边同取自然对数得
$$
\ln L(\theta)=\ln 4+6 \ln \theta+2 \ln (1-\theta)+4 \ln (1-2 \theta),
$$
$\ln L(\theta)$ 和 $L(\theta)$ 在 $\theta$ 的同一点取得最大值, 所以
$$
\frac{d \ln L(\theta)}{d \theta}=\frac{6}{\theta}-\frac{2}{1-\theta}-\frac{8}{1-2 \theta}=\frac{6-28 \theta+24 \theta^{2}}{\theta(1-\theta)(1-2 \theta)}
$$
令 $\frac{d \ln L(\theta)}{d \theta}=0$, 解得 $\theta_{1,2}=\frac{7 \pm \sqrt{13}}{12}$, 因 $\frac{7+\sqrt{13}}{12} > \frac{1}{2}$ 与题目中 $0 < \theta < \frac{1}{2}$ 矛盾, 不合题
意, 所以 $\theta$ 的最大似然估计值为 $\hat{\theta}=\frac{7-\sqrt{13}}{12}$.

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