英国数学家泰勒发现了如下公式: $\sin x=x-\frac{x^3}{3 !}+\frac{x^5}{5 !}-\frac{x^7}{7 !}+\cdots$, 其中 $n !=1 \times 2 \times 3 \times 4 \times \cdots \times n$, 此公式有广泛的用途, 例如利用公式得到一些不等式: 当 $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 时, $\sin x < x, \sin x>x-\frac{x^3}{3 !}, \sin {x < x-\frac{x^3}{3 !}+}$ $\frac{x^5}{5 !}, \cdots$
(1)证明: 当 $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 时, $\frac{\sin x}{x}>\frac{1}{2}$;
(2)设 $f(x)=m {\sin ^x} x$, 若区间 $[a, b]$ 满足当 $f(x)$ 定义域为 $[a, b]$ 时，值域也为 $[a, b]$, 则称为 $f(x)$ 的“和谐区间”.
（i） $m=1$ 时， $f(x)$ 是否存在“和谐区间”? 若存在, 求出 $f(x)$ 的所有“和谐区间”, 若不存在, 请说明理由;
（ii） $m=-2$ 时， $f(x)$ 是否存在“和谐区间”？若存在，求出 $f(x)$ 的所有“和谐区间”, 若不存在，请说明理由.