数值线性代数又称矩阵计算, 是计算数学的一个重要分支, 其主要研究对象包括向量和矩阵. 对于平面向量 $\vec{a}=(x, y)$, 其模定义为 $|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}$. 类似地, 对于 $n$ 行 $n$ 列的矩阵 $A_{n n}=\left(\begin{array}{ccccc}a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2 n} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3 n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots\end{array}\right)$, 其模可由向量模拓展为 $A=\left(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{i j}^2\right)^{\frac{1}{2}}$ (其中 $a_{i j}$ 为矩阵中第 $\mathrm{i}$ 行第 $\mathrm{j}$ 列的数, $\sum$ 为求和符号), 记作 $A_F$, 我们称这样的矩阵模为弗罗贝尼乌斯范数, 例如对于矩阵 $A_{22}=\left(\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}2 & 4 \\ 3 & 5\end{array}\right)$, 其矩阵模 $A_F=$ $\left(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{i j}^2\right)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2^2+4^2+3^2+5^2}=3 \sqrt{6}$. 弗罗贝尼乌斯范数在机器学习等前沿领域有重要的应用.
(1) $\forall n \in N^*, n \geq 3$, 矩阵 $B_{n n}=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{3} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \sqrt{n}\end{array}\right)$, 求使 $B_F>3 \sqrt{5}$ 的 $n$ 的最小值.
(2) $\forall n \in \boldsymbol{N}^*, n \geq 3$, , 矩阵 $C_{n n}=$
$$
\left(\begin{array}{ccccccc}
1 & \cos \theta & \cos \theta & \cos \theta & \mathrm{L} & \cos \theta & \cos \theta \\
0 & -\sin \theta & -\sin \theta \cos \theta & -\sin \theta \cos \theta & \mathrm{L} & -\sin \theta \cos \theta & -\sin \theta \cos \theta \\
0 & 0 & \sin ^2 \theta & \sin ^2 \theta \cos \theta & \mathrm{L} & \sin ^2 \theta \cos \theta & \sin ^2 \theta \cos \theta \\
\mathrm{M} & \mathrm{M} & \mathrm{M} & \mathrm{M} & & \mathrm{M} & \mathrm{M} \\
0 & 0 & 0 & 0 & \mathrm{~L} & (-1)^{n-2} \sin ^{n-2} \theta & (-1)^{n-2} \sin ^{n-2} \theta \cos \theta \\
0 & 0 & 0 & 0 & \mathrm{~L} & 0 & (-1)^{n-1} \sin ^{n-1} \theta
\end{array}\right) \text { 求 } C_F \text {. }
$$

(3)矩阵
$$
D_{m n}=\left\{\begin{array}{l}
\ln \frac{n+2}{n+1} 00 \cdots 0 \\
\ln \left(\frac{n+1}{n}\right)^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \ln \left(\frac{n+1}{n}\right)^{\frac{\sqrt{2}}{2}} 0 \cdots 0 \\
\ln \left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{\sqrt{n-1}}{n-1}} \ln \left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{\sqrt{n-1}}{n-1}} \ln \left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{\sqrt{n-1}}{n-1}} \cdots 0 \\
\ln \left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{\sqrt{n}}{n}} \ln \left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{\sqrt{n}}{n}} \ln \left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{\sqrt{n}}{n}} \cdots \ln \left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{\sqrt{n}}{n}}
\end{array}\right.
$$
|, 证明: $\forall n \in \boldsymbol{N}^*, n \geq 3, D_F>\sqrt{\frac{n}{3 n+9}}$.