题号:1286    题型:解答题    来源:2002年全国硕士研究生入学统一考试数学
类型:考研真题
设有一小山, 取它的底面所在的平面为 $x O y$ 坐标面, 其底部所占的区域为 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}-x y\right.$ $\leqslant 75\}$, 小山的高度函数为 $h(x, y)=75-x^{2}-y^{2}+x y$.
(1)设 $M\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为区域 $D$ 上一点, 问 $h(x, y)$ 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?若记此方 向导数的最大值为 $g\left(x_{0}, y_{0}\right)$, 试写出 $g\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的表达式.
(2) 现欲利用此小山开展攀岩活动, 为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为燓登的起点. 也就是说, 要在 $D$ 的边界线 $x^{2}+y^{2}-x y=75$ 上找出使 (1) 中的 $g(x, y)$ 达到最大值的点. 试确定 攀登起点的位置.
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答案:
(1)根据方向导数和梯度的定义, 知方向导数的最大值是梯度的模长,
$$
\left.\operatorname{gradh}(x, y)\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}=\left\{\left.\frac{\partial h}{\partial x}\right|_{\left(y_{0}, x_{0}\right)},\left.\frac{\partial h}{\partial y}\right|_{\left(y_{0}, x_{0}\right)}\right\}=\left\{y_{0}-2 x_{0}, x_{0}-2 y_{0}\right\} .
$$

$\left.\max \frac{\partial u}{\partial l}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}=|\operatorname{gradh}(x, y)|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}=\sqrt{\left(y_{0}-2 x_{0}\right)^{2}+\left(x_{0}-2 y_{0}\right)^{2}}$
$=\sqrt{5 x_{0}^{2}+5 y_{0}^{2}-8 x_{0} y_{0}}$ 记 $g\left(x_{0}, y_{0}\right)$.
(2) 命 $f(x, y)=g^{2}(x, y)=5 x^{2}+5 y^{2}-8 x y$, 求 $f$ 在约束条件 $75-x^{2}-y^{2}+x y=0$ 下
的最大值点. 为此, 构造拉格朗日函数
$$
F(x, y, \lambda)=5 x^{2}+5 y^{2}-8 x y+\lambda\left(75-x^{2}-y^{2}+x y\right)
$$

$$
\begin{aligned}
&F_{x}^{\prime}=10 x-8 y+\lambda(y-2 x) \text { 令 } 0, \\
&F_{y}^{\prime}=10 y-8 x+\lambda(x-2 y) \text { 令 } 0, \\
&F_{\lambda}^{\prime}=75-x^{2}-y^{2}+x y \text { 令 } 0 .
\end{aligned}
$$
由第 1 、第 2 两式相加可得 $(x+y)(2-\lambda)=0$. 从而得 $y=-x$ 或 $\lambda=2$, 再分别讨论之.
若 $\lambda=2$, 则解得 $(x, y)_{1}=(5 \sqrt{3}, 5 \sqrt{3})$ 或 $(x, y)_{2}=(-5 \sqrt{3},-5 \sqrt{3})$
若 $y=-x$, 则解得 $(x, y)_{3}=(5,-5)$ 或 $(x, y)_{4}=(-5,5)$
于是得到如上 4 个可能极值点. 将 $(x, y)_{i}$ 记为 $M_{i}(i=1,2,3,4)$. 由于
$$
f\left(M_{1}\right)=f\left(M_{2}\right)=150, f\left(M_{3}\right)=f\left(M_{4}\right)=450
$$
故点 $M_{3}=(5,-5), M_{4}=(-5,5)$ 可作为攀登起点.

解析:

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