“物不知数” 是中国古代著名算题, 原载于《孙子算经》卷下第二十六题: “今有物不知其数, 三三数之剩二: 五五数之剩三; 七七数之剩二. 问物几何? ”问题的意思是, 一个数被 3 除余 2 , 被 5 除余 3 , 被 7 除余 2 , 那么这个数是多少? 若

m

个数

x

被

m

除余

r

, 我们可以写作

x \equiv r (mod m)

. 它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术中给出的. 大衍求一术 (也称作“中国剩余定理”) 是中国古算中最有独创性的成就之一, 现将满足上述条件的正整数从小到大依次排序. 中国剩余定理: 假设整数

m_{1}, m_{2}, \dots, m_{n}

两两互质, 则对任意的整数:

r_{1}, r_{2}, \dots, r_{n}

方程组

{\begin{matrix} x \equiv r_{1} (mod m_{1}) \\ x \equiv r_{2} (mod m_{2}) \\ \dots \\ x \equiv r_{n} (mod m_{n}) \end{matrix}

一定有解, 并且通解为

x = k M + r_{1} t_{1} M_{1} +

r_{2} t_{2} M_{2} + \dots + r_{n} t_{n} M_{n}

, 其中

k

为任意整数,

M = m_{1} m_{2} \dots m_{n}, M_{i} = \frac{M}{m_{i}}, t_{i}

为整数, 且满足

M_{i} t_{i} =

1 (mod m_{i})

(1) 求出满足条件的最小正整数, 并写出第

n

个满足条件的正整数;
(2)在不超过 4200 的正整数中, 求所有满足条件的数的和. (提示: 可以用首尾进行相加).

A.

B.

C.

D.

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答案与解析：

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