关于 $x$ 的函数 $f(x)=\ln x+2 x-b(b>2)$, 我们曾在必修一中学习过 “二分法” 求其零点近似值. 现结合导函数,介绍另一种求零点近似值的方法——“牛顿切线法”.
(1)证明: $f(x)$ 有唯一零点 $a$, 且 $a \in(1, b)$;
(2)现在, 我们任取 $x_1 \in(1, a)$ 开始, 实施如下步骤:

在 $\left(x_1, f\left(x_1\right)\right)$ 处作曲线 $f(x)$ 的切线, 交 $x$ 轴于点 $\left(x_2, 0\right)$;
在 $\left(x_2, f\left(x_2\right)\right)$ 处作曲线 $f(x)$ 的切线, 交 $x$ 轴于点 $\left(x_3, 0\right)$;

在 $\left(x_n, f\left(x_n\right)\right)$ 处作曲线 $f(x)$ 的切线, 交 $x$ 轴于点 $\left(x_{n+1}, 0\right)$;
可以得到一个数列 $\left\{x_n\right\}$, 它的各项都是 $f(x)$ 不同程度的零点近似值.
（i）设 $x_{n+1}=g\left(x_n\right)$ ，求 $g\left(x_n\right)$ 的解析式(用 $x_n$ 表示 $x_{n+1}$ );
（ii）证明: 当 $x_1 \in(1, a)$, 总有 $x_n < x_{n+1} < a$.