设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内具有一阶连续导数, $L$ 是上半平面 $(y>0)$ 内的有向分段光滑曲线, 其起点为 $(a, b)$, 终点为 $(c, d)$. 记
$$
I=\int_{L} \frac{1}{y}\left[1+y^{2} f(x y)\right] \mathrm{d} x+\frac{x}{y^{2}}\left[y^{2} f(x y)-1\right] \mathrm{d} y .
$$
(1) 证明曲线积分 $I$ 与路径 $L$ 无关;
(2) 当 $a b=c d$ 时, 求 $I$ 的值.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$