题号:1283    题型:解答题    来源:2002年全国硕士研究生入学统一考试数学
类型:考研真题
计算二重积分 $\iint_{D} \mathrm{e}^{\max \left|x^{2}, y^{2}\right|} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$.
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答案:
应先将 $e^{\max \left\{x^{2}, y^{2}\right\}}$ 写成分块表达式. 记
$$
D_{1}=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq x\}, D_{2}=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1, x \leq y \leq 1\}
$$
于是 $\quad e^{\max \left\{x^{2}, y^{2}\right\}}= \begin{cases}e^{x^{2}} & (x, y) \in D_{1} ; \\ e^{y^{2}} & (x, y) \in D_{2} .\end{cases}$
从而
$=\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{x} e^{x^{2}} d y+\int_{0}^{1} d y \int_{0}^{1} e^{y^{2}} d x=\int_{0}^{1} e^{x^{2}} x d x+\int_{0}^{1} e^{y^{2}} y d y$
$=2 \int_{0}^{1} e^{x^{2}} x d x=\int_{0}^{1} e^{x^{2}} d x^{2}=\int_{0}^{1} d e^{x^{2}}=\left.e^{x^{2}}\right|_{0} ^{1}=(e-1)$

解析:

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