题号:1279    题型:单选题    来源:2002年全国硕士研究生入学统一考试数学
设有三张不同平面的方程 $a_{i 1} x+a_{i 2} y+a_{i 3} z=b_{i}, i=1,2,3$, 它们所组成的线性方程组的系数矩 阵与增广矩阵的秩都为 2 , 则这三张平面可能的位置关系为()
$A.$ $B.$ $C.$ $D.$
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答案:
B

解析:

三张不同平面的方程分别为 $a_{i 1} x+a_{i 2} y+a_{i 3} z=b_{i}, i=1,2,3$, 判断三个平面有无
公共点即判断方程组 $\left\{\begin{array}{l}a_{11} x+a_{12} y+a_{13} z=b_{1} \\ a_{21} x+a_{22} y+a_{23} z=b_{2} \\ a_{31} x+a_{32} y+a_{33} z=b_{3}\end{array}\right.$ 无公共解, 且方程组有多少公共解平面就有
多少公共点, 由于方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都是 $2 < 3$ (末知量的个数), 所以方程 组有解且有无穷多解, 故三个平面有无穷多个公共点, 故应排除 $(\mathrm{A})$ 三平面唯一交点(即方程 组只有唯一解)(C)、(D)三平面没有公共交点(即方程组无解).
故应选(B), 三个平面相交于一条直线, 直线上所有的点均是平面的公共点, 即有无穷 多个公共点.
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