题号:1277    题型:单选题    来源:2002年全国硕士研究生入学统一考试数学
设 $u_{n} \neq 0(n=1,2,3, \cdots)$, 且 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{u_{n}}=1$, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\left(\frac{1}{u_{n}}+\frac{1}{u_{n+1}}\right)($
$A.$ 发散. $B.$ 绝对收敛. $C.$ 条件收敛. $D.$ 收敛性根据所给条件不能判定.
0 条评论 分享 0 人点赞 收藏 ​ ​ 1 次查看 我来讲解
答案:
C

解析:

首先要分清绝对收敛和条件收敛的定义, 通过定义判定级数的敛散性.
考察原级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\left(\frac{1}{u_{n}}+\frac{1}{u_{n+1}}\right)$ 的前 $n$ 项部分和
$$
S_{n}=\left(\frac{1}{u_{1}}+\frac{1}{u_{2}}\right)-\left(\frac{1}{u_{2}}+\frac{1}{u_{3}}\right)+\left(\frac{1}{u_{3}}+\frac{1}{u_{4}}\right)-\cdots+(-1)^{n+1}\left(\frac{1}{u_{n}}+\frac{1}{u_{n+1}}\right)=\frac{1}{u_{1}}+(-1)^{n+1} \frac{1}{u_{n+1}}
$$
由 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{u_{n}}=1 > 0$ 知, 当 $n$ 充分大时, $u_{n} > 0$ 且 $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=+\infty$. 所以 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}=\frac{1}{u_{1}}$ (收敛), 另一方面, $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{u_{n}}+\frac{1}{u_{n+1}}\right)$ 为正项级数, 用比较判别法的极限形式, 由题设条件 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{u_{n}}=1$ 的启发, 考虑
$$
\begin{aligned}
&\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{u_{n}}+\frac{1}{u_{n+1}}}{\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{u_{n+1}+u_{n}}{u_{n} u_{n+1}}}{\frac{2 n+1}{n(n+1)}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left(u_{n+1}+u_{n}\right) n(n+1)}{u_{n} u_{n+1}(2 n+1)} \\
&=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n(n+1)\left[\frac{(n+1)}{n} \frac{u_{n+1}}{(n+1)}+\frac{u_{n}}{n}\right]}{u_{n} u_{n+1} \frac{2 n+1}{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{(n+1)}{n} \frac{u_{n+1}}{(n+1)}+\frac{u_{n}}{n}}{\frac{u_{n}}{n} \cdot \frac{u_{n+1}}{n+1} \cdot \frac{2 n+1}{n}}=1
\end{aligned}
$$
而级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+1}$ 是发散的, 所以 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{u_{n}}+\frac{1}{u_{n+1}}\right)$ 也发散, 所以选 $(\mathrm{C})$.
①因本站题量较多,无法仔细核对每一个试题,如果试题有误,请点击 编辑进行更正。
②如果您有更好的解答,可以点击 我要评论进行评论。
③如果您想挑战您的朋友,点击 我要分享 下载题目图片发给好友。

关闭