题号:1274    题型:填空题    来源:2002年全国硕士研究生入学统一考试数学
已知实二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=a\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)+4 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}+4 x_{2} x_{3}$ 经正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P y}$ 可化 成标准形 $f=6 y_{1}^{2}$, 则 $a=$
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答案:
2

解析:

方法 1: 二次型 $f$ 的对应矩阵 $A=\left[\begin{array}{lll}a & 2 & 2 \\ 2 & a & 2 \\ 2 & 2 & a\end{array}\right]$, 经正交变换 $x=P y$, 可化成标准 型 $f=6 y_{1}^{2}$, 故 $P$ 为正交矩阵, 有 $P^{T}=P^{-1}$, 且对实对称矩阵 $A$, 有
$$
\begin{gathered}
P^{T} A P=\left(\begin{array}{lll}
6 & & \\
& 0 & \\
& 0
\end{array}\right), \text { 故 } P^{T} A P=P^{-1} A P=\left(\begin{array}{lll}
6 & & \\
& 0 & \\
& & 0
\end{array}\right), \\
A \sim\left[\begin{array}{lll}
6 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right]
\end{gathered}
$$
販]
因为矩阵的 $n$ 个特征值之和等于它的主对角元素之和, $\sum_{i=1}^{3} a_{i i}=3 a=\sum_{i=1}^{3} \lambda_{i}$, 相似矩阵
具有相同的特征值, $\sum_{i=1}^{3} \lambda_{i}=6+0+0=6$ 故有 $3 a=6$, 得 $a=2$.

方法 2: 二次型 $f$ 的对应矩阵 $A=\left[\begin{array}{lll}a & 2 & 2 \\ 2 & a & 2 \\ 2 & 2 & a\end{array}\right]$, 经正交变换 $x=P y$, 可化成标准型 $f=6 y_{1}^{2}$,
故 $P$ 为正交矩阵, 有 $P^{T}=P^{-1}$, 且对实对称矩阵 $A$, 有 $P^{T} A P=P^{-1} A P=$ $=\left(\begin{array}{lll}6 & & \\ & 0 & \\ & & 0\end{array}\right)$, 即
$$
A \sim\left[\begin{array}{lll}
6 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right]
$$
相似矩阵具有相同的特征值, 知 0 是 $A$ 的特征值, 根据特征值的定义, 有
$$
|0 E-A|=|A|=0
$$
$|A|=\left|\begin{array}{lll}a & 2 & 2 \\ 2 & a & 2 \\ 2 & 2 & a\end{array}\right| \stackrel{\text { 把第2,3列加到第1列 }}{=}\left|\begin{array}{lll}a+4 & 2 & 2 \\ a+4 & a & 2 \\ a+4 & 2 & a\end{array}\right|$
$$
=(a+4)(a-2)^{2}=0,
$$
得 $a=-4$ 或 $a=2$,

又 6 是 $A$ 的特征值, 根据特征值的定义, 有 $|6 E-A|=0$, 由
$$
6 E-A=\left[\begin{array}{lll}
6 & & \\
& 6 & \\
& & 6
\end{array}\right]-\left[\begin{array}{lll}
a & 2 & 2 \\
2 & a & 2 \\
2 & 2 & a
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
6-a & -2 & -2 \\
-2 & 6-a & -2 \\
-2 & -2 & 6-a
\end{array}\right] \text { (对应元素相减) }
$$
两边取行列式,
$$
|6 E-A|=\left|\begin{array}{ccc}
6-a & -2 & -2 \\
-2 & 6-a & -2 \\
-2 & -2 & 6-a
\end{array}\right| \underline{\text { 把第2,3列加到第1列 }}\left|\begin{array}{ccc}
2-a & -2 & -2 \\
2-a & 6-a & -2 \\
2-a & -2 & 6-a
\end{array}\right|
$$
$$
=(2-a)(8-a)^{2}=0
$$
得 $a=2$ 或 $a=8$
(2)
因为(1), (2)需同时成立, 取它们的公共部分, 得 $a=2$.
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