设总体 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)(\sigma>0)$, 从该总体中抽取简单随机样本 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{2 n}(n \geqslant 2)$, 其样本均值为 $\bar{X}=\frac{1}{2 n} \sum_{i=1}^{2 n} X_{i}$, 求统计量 $Y=\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}+X_{n+i}-2 \bar{X}\right)^{2}$ 的数学期望 $E(Y)$.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$