题号:1247    题型:解答题    来源:2001年全国硕士研究生招生考试试题
设某班车起点站上客人数 $X$ 服从参数为 $\lambda(\lambda > 0)$ 的泊松分布, 每位乘客在中途下车的概率为 $p(0 < p < 1)$, 且中途下车与否相互独立. 以 $Y$ 表示在中途下车的人数, 求:
(1) 在发车时有 $n$ 个乘客的条件下, 中途有 $m$ 人下车的概率;
(2) 二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布.
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答案:
首先需要清楚二项分布的产生背景. 它的背景是: 做 $n$ 次独立重复试验, 每次 试验的结果只有两个(要么成功, 要么失败), 每次试验成功的概率都为 $p$, 随机变量 $X$ 表 示 $n$ 次试验成功的次数, 则 $X \sim B(n, p)$. 在此题中, 每位乘客在中途下车看成是一次实验,
每个人下车是独立的, 有 $n$ 个人相当于做了 $n$ 次独立重复实验, 把乘客下车看成实验成功, 不下车看成实验失败, 而且每次实验成功的概率都为 $p$, 则问题(1)成为 $n$ 重伯努利实验中 有 $m$ 次成功.
【详解】(1)求在发车时有 $n$ 个乘客的条件下, 中途有 $m$ 人下车的概率, 相当于求条件概率 $P\{Y=m \mid X=n\}$, 由题设知, 此条件概率服从二项分布, 因此根据二项分布的分布律有:
$$
P\{Y=m \mid X=n\}=C_{n}^{m} P^{m}(1-P)^{n-m}, 0 \leq m \leq n, n=0,1,2 \cdots
$$
(2) 求二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布, 其实就是求 $P\{X=n, Y=m\}$, 利用乘法公式,
有 $\quad P\{X=n, Y=m\}=P\{Y=m \mid X=n\} P\{X=n\}$
又 $X$ 服从参数 $\lambda(\lambda > 0)$ 的泊松分布, 由泊松分布的分布律有 $P\{X=n\}=\frac{\lambda^{n}}{n !} e^{-\lambda}$ 故 $P\{X=n, Y=m\}=P\{Y=m \mid X=n\} P\{X=n\}=C_{n}^{m} P^{m}(1-P)^{n-m} \cdot \frac{e^{-\lambda}}{n !} \lambda^{n}$, 其中 $0 \leq m \leq n, n=0,1,2 \cdots$
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