【ID】1243 【题型】解答题 【类型】考研真题 【来源】2001年全国硕士研究生招生考试试题
设 $y=f(x)$ 在 $(-1,1)$ 内具有二阶连续导数且 $f^{\prime \prime}(x) \neq 0$, 试证:
(1) 对于 $(-1,1)$ 内的任一 $x \neq 0$, 存在唯一的 $\theta(x) \in(0,1)$, 使 $f(x)=f(0)+x f^{\prime}(\theta(x) x)$ 成立;
(2) $\lim _{x \rightarrow 0} \theta(x)=\frac{1}{2}$.
答案:
(1) 因为 $y=f(x)$ 在 $(-1,1)$ 内具有二阶连续导数, 所以一阶导数存在, 由拉格
朗日中值定理得, 任给非零 $x \in(-1,1)$, 存在 $\theta(x) \in(0,1), \theta(x) \cdot x \in(-1,1)$, 使 $f(x)=f(0)+x f^{\prime}[\theta(x) \cdot x],(0 < \theta(x) < 1)$ 成立.
因为 $f^{\prime \prime}(x)$ 在 $(-1,1)$ 内连续且 $f^{\prime \prime}(x) \neq 0$, 所以 $f^{\prime \prime}(x)$ 在 $(-1,1)$ 内不变号, 不妨设 $f^{\prime \prime}(x) > 0$, 则 $f^{\prime}(x)$ 在 $(-1,1)$ 内严格单调且增加, 故 $\theta(x)$ 唯一.
(2)方法 1: 由(1)知 $f(x)=f(0)+x f^{\prime}[\theta(x) \cdot x],(0 < \theta(x) < 1)$ 于是有 $x f^{\prime}[\theta(x) x]=f(x)-f(0)$, 即 $f^{\prime}[\theta(x) x]=\frac{f(x)-f(0)}{x}$ 所以 $\frac{f^{\prime}[\theta(x) x]-f^{\prime}(0)}{x}=\frac{f(x)-f(0)-f^{\prime}(0) x}{x^{2}}$ 上式两边取极限, 再根据导数定义, 得
$$
\begin{aligned}
\text { 左端 } &=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}[\theta(x) x]-f^{\prime}(0)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}[\theta(x) x]-f^{\prime}(0)}{\theta(x) x} \theta(x) \\
&=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}[\theta(x) x]-f^{\prime}(0)}{\theta(x) x} \lim _{x \rightarrow 0} \theta(x)=f^{\prime \prime}(0) \lim _{x \rightarrow 0} \theta(x) \\
\text { 右端 } &=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)-f^{\prime}(0) x}{x^{2}} \stackrel{\text { 洛 }}{=} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x)-f^{\prime}(0)}{2 x} \\
&=\frac{1}{2} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x)-f^{\prime}(0)}{x-0} \text { 导数定义 } \frac{1}{2} f^{\prime \prime}(0)
\end{aligned}
$$
左边=右边, 即 $f^{\prime \prime}(0) \lim _{x \rightarrow 0} \theta(x)=\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(0)$, 故 $\lim _{x \rightarrow 0} \theta(x)=\frac{1}{2}$.



方法 2: 由泰勒公式得 $f(x)=f(0)+f^{\prime}(0) x+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(\xi) x^{2}, \quad \xi \in(0, x)$
再与(1)中的
$$
f(x)=f(0)+x f^{\prime}[\theta(x) x](0 < \theta(x) < 1)
$$

比较, 所以 $x f^{\prime}[\theta(x) x]=f(x)-f(0)=f^{\prime}(0) x+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(\xi) x^{2}$,
约去 $x$, 有 $f^{\prime}[\theta(x) x]=f^{\prime}(0)+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(\xi) x$,
凑成 $\frac{f^{\prime}[\theta(x) x]-f^{\prime}(0)}{\theta(x) x} \theta(x)=\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(\xi)$,
由于 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}[\theta(x) x]-f^{\prime}(0)}{\theta(x) x}=f^{\prime \prime}(0), \lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime \prime}(x)=\lim _{\xi \rightarrow 0} f^{\prime \prime}(\xi)=f^{\prime \prime}(0)$
所以 $f^{\prime \prime}(0) \lim _{x \rightarrow 0} \theta(x)=\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(0)$
故 $\lim _{x \rightarrow 0} \theta(x)=\frac{1}{2}$.

解析:

视频讲解

提示1:如果发现题目有错或排版有误或您有更好的解题方法,请点击“编辑”功能进行更新。
提示2: Kmath一直以来坚持内容免费,这导致我们亏损严重。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元, 我们一个月内就能脱离亏损, 并保证在接下来的一整年里继续免费提供优质内容。捐赠
关闭