题号:1239    题型:解答题    来源:2001年全国硕士研究生招生考试试题
求 $\int \frac{\arctan \mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{2 x}} \mathrm{~d} x$.
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答案:
\begin{aligned}
& \int \frac{\arctan e^{x}}{e^{2 x}} d x=\int e^{-2 x} \arctan e^{x} d x=-\frac{1}{2} \int e^{-2 x} \arctan e^{x} d(-2 x)\\
&=-\frac{1}{2} \int \arctan e^{x} d\left(e^{-2 x}\right) \stackrel{\text { 分部 }}{=}-\frac{1}{2}\left(e^{-2 x} \arctan e^{x}-\int e^{-2 x} d \arctan e^{x}\right)\\
&=-\frac{1}{2}\left(e^{-2 x} \arctan e^{x}-\int \frac{d e^{x}}{e^{2 x}\left(1+e^{2 x}\right)}\right)\\
&=-\frac{1}{2}\left(e^{-2 x} \arctan e^{x}-\int\left(\frac{1}{e^{2 x}}-\frac{1}{1+e^{2 x}}\right) d e^{x}\right)\\
&=-\frac{1}{2}\left(e^{-2 x} \arctan e^{x}-\int e^{-2 x} d e^{x}+\int \frac{1}{1+e^{2 x}} d e^{x}\right)\\
&=-\frac{1}{2}\left(e^{-2 x} \arctan e^{x}+e^{-x}+\arctan e^{x}\right)+C
\end{aligned}
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