题号:1238    题型:单选题    来源:2001年全国硕士研究生招生考试试题
将一枚硬币重复郑 $n$ 次, 以 $X$ 和 $Y$ 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则 $X$ 和 $Y$ 的相关系数 等于 $(\quad)$
$A.$ $-1$. $B.$ 0 . $C.$ $\frac{1}{2}$. $D.$ 1 .
0 条评论 分享 0 人点赞 收藏 ​ ​ 2 次查看 我来讲解
答案:
A

解析:

掷硬币结果不是正面向上就是反面向上, 所以 $X+Y=n$, 从而 $Y=n-X$,
故 $D Y=D(n-X)=D X$
由方差的定义: $D X=E X^{2}-(E X)^{2}$, 所以
$$
\begin{aligned}
D Y &=D(n-X)=E(n-X)^{2}-[E(n-X)]^{2}=E\left(n^{2}-2 n X+X^{2}\right)-(n-E X)^{2} \\
&\left.=n^{2}-2 n E X+E X^{2}-n^{2}+2 n E X-(E X)^{2}=E X^{2}-(E X)^{2}=D X\right)
\end{aligned}
$$
由协方差的性质: $\operatorname{cov}(X, c)=0$ ( $c$ 为常数); $\operatorname{cov}(a X, b Y)=a b \operatorname{cov}(X, Y)$
$$
\left.\operatorname{cov}\left(X_{1}+X_{2}, Y\right)=\operatorname{cov}\left(X_{1}, Y\right)+\operatorname{cov}\left(X_{2}, Y\right)\right)
$$
所以 $\operatorname{cov}(X, Y)=\operatorname{cov}(X, n-X)=\operatorname{cov}(X, n)-\operatorname{cov}(X, X)=0-D X=-D X$
由相关系数的定义, 得 $\rho(X, Y)=\frac{\operatorname{cov}(X, Y)}{\sqrt{D X} \sqrt{D Y}}=\frac{-D X}{\sqrt{D X} \sqrt{D X}}=-1$
①因本站题量较多,无法仔细核对每一个试题,如果试题有误,请点击 编辑进行更正。
②如果您有更好的解答,可以点击 我要评论进行评论。
③如果您想挑战您的朋友,点击 我要分享 下载题目图片发给好友。

关闭