已知双曲线 $C_1: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的一条渐近线与双曲线 $C_2: \frac{x^2}{4}-y^2=1$ 的一条渐近线垂直, 且 $C_1$ 的一个焦点到 $C_2$ 的一条渐近线的距离为 2 .
(1)求 $C_1$ 的方程;
(2) 若 $C_1$ 上任意一点 $A$ 关于直线 $y=x$ 的对称点为 $A^{\prime}$, 过 $A^{\prime}$ 分别作 $C_2$ 的两条渐近线的平行线,与 $C_2$ 分别交于 $P, Q$, 求证: $\left|A^{\prime} P\right| \cdot\left|A^{\prime} Q\right|$ 为定值.