题号:1235    题型:单选题    来源:2001年全国硕士研究生招生考试试题
设函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 附近有定义, 且 $f_{x}^{\prime}(0,0)=3, f_{y}^{\prime}(0,0)=1$, 则()
$A.$ $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,0)}=3 \mathrm{~d} x+\mathrm{d} y$. $B.$ 曲面 $z=f(x, y)$ 在点 $(0,0, f(0,0))$ 的法向量为 $(3,1,1)$. $C.$ 曲线 $\left\{\begin{array}{l}z=f(x, y) \\ y=0\end{array}\right.$, 在点 $(0,0, f(0,0))$ 的切向量为 $(1,0,3)$. $D.$ 曲线 $\left\{\begin{array}{l}z=f(x, y), \\ y=0\end{array}\right.$ 在点 $(0,0, f(0,0))$ 的切向量为 $(3,0,1)$.
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答案:
C

解析:

题目仅设函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 附近有定义及 $f_{x}^{\prime}(0,0)=3, f_{y}^{\prime}(0,0)=1$, 末设 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 可微, 也没设 $z=f(x, y)$, 所以谈不上 $d z$, 因此可立即排除 $(\mathrm{A})$;
令 $F(x, y, z)=z-f(x, y)$, 则有 $F_{x}^{\prime}=-f_{x}^{\prime}, F_{y}^{\prime}=-f_{y}^{\prime}, F_{z}^{\prime}=1$. 因此过点 $(0,0, f(0,0))$ 的法向量为 $\pm\left\{F_{x}^{\prime}, F_{y}^{\prime}, F_{z}^{\prime}\right\}=\pm\left\{-f_{x}^{\prime},-f_{y}^{\prime}, 1\right\}=\pm\{-3,-1,1\}$, 可排除(B);

曲线 $\left\{\begin{array}{l}z=f(x, y) \\ y=0\end{array}\right.$ 可表示为参数形式: $\left\{\begin{array}{l}x=x \\ y=0 \\ z=f(x, 0)\end{array}\right.$, 点 $(0,0, f(0,0))$ 的切向量为 $\pm\left\{1,0, f_{x}^{\prime}(0,0)\right\}=\pm\{1,0,3\}$. 故正确选项为 $(C)$.
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