题号:1232    题型:填空题    来源:2001年全国硕士研究生招生考试试题
设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $\boldsymbol{A}^{2}+\boldsymbol{A}-4 \boldsymbol{E}=\boldsymbol{O}$, 其中 $\boldsymbol{E}$ 为单位矩阵, 则 $(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})^{-1}=$
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答案:
$\frac{1}{2}(A+2 E)$.

解析:

要求 $(A-E)$ 的逆, 应努力把题中所给条件化成 $(A-E) B=E$ 的形式.
由题设 $A^{2}+A-4 E=0 \Rightarrow A^{2}+A-2 E=2 E \Rightarrow(A-E)(A+2 E)=2 E$

$(A-E) \cdot \frac{1}{2}(A+2 E)=E$,

$(A-E)^{-1}=\frac{1}{2}(A+2 E) .$
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