【ID】1231 【题型】填空题 【类型】考研真题 【来源】2001年全国硕士研究生招生考试试题
交换二次积分的积分次序 $\int_{-1}^{0} \mathrm{~d} y \int_{2}^{1-y} f(x, y) \mathrm{d} x=$
答案:
$\int_{1}^{2} d x \int_{0}^{1-x} f(x, y) d y$.

解析:

由题设二次积分的限, 画出对应的积分区域,
如图阴影部分. 但在 $-1 \leq y \leq 0$ 内, $2 \geq 1-y$,
题设的二次积分并不是 $f(x, y)$ 在某区域上的二重积分,
因此, 应先将题设给的二次积分变形为:
$$
\int_{-1}^{0} d y \int_{2}^{1-y} f(x, y) d x=-\int_{-1}^{0} d y \int_{1-y}^{2} f(x, y) d x,
$$

其中 $D=\{(x, y) \mid-1 \leq y \leq 0,1-y \leq x \leq 2\}$, 再由图所示, 又可将 $D$ 改写为
$$
D=\{(x, y) \mid 1 \leq x \leq 2,1-x \leq y \leq 0\},
$$
于是
$$
\begin{aligned}
\int_{-1}^{0} d y \int_{2}^{1-y} f(x, y) d x &=-\int_{-1}^{0} d y \int_{1-y}^{2} f(x, y) d x=-\int_{1}^{2} d x \int_{1-x}^{0} f(x, y) d y \\
&=\int_{1}^{2} d x \int_{0}^{1-x} f(x, y) d y .
\end{aligned}
$$

视频讲解

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