题号:1229    题型:填空题    来源:2001年全国硕士研究生招生考试试题
设 $y=\mathrm{e}^{x}\left(C_{1} \sin x+C_{2} \cos x\right)$ ( $C_{1}, C_{2}$ 为任意常数) 为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解, 则该方程为
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答案:
$y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=0$.

解析:

因为二阶常系数线性齐次微分方程 $y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=0$ 的通解为 $y=e^{\alpha x}\left(c_{1} \sin \beta x+c_{2} \cos \beta x\right)$ 时, 则特征方程 $r^{2}+p r+q=0$ 对应的两个根为一对共轭复 根: $\lambda_{1,2}=\alpha \pm \beta i$, 所以根据题设 $y=e^{x}\left(c_{1} \sin x+c_{2} \cos x\right)\left(c_{1}, c_{2}\right.$ 为任意常数 $)$ 为某二阶常 系数线性齐次微分方程的通解, 知: $\alpha=1, \beta=1$, 特征根为 $\lambda_{1,2}=\alpha \pm \beta i=1 \pm i$, 从而对应 的特征方程为: $(\lambda-(1+i))(\lambda-(1-i))=\lambda^{2}-2 \lambda+2=0$, 于是所求二阶常系数线性齐次 微分方程为 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=0$.
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