题号:1227    题型:解答题    来源:2022年广西桂林市中考数学试卷
如图, $A B$ 是 $\odot O$ 的直径, 点 $C$ 是圆上的一点, $C D \perp A D$ 于点 $D, A D$ 交 $\odot O$ 于点 $F$, 连接 $A C$, 若 $A C$ 平分 $\angle D A B$, 过点 $F$ 作 $F G \perp A B$ 于点 $G$ 交 $A C$ 于点 $H$.
(1) 求证: $C D$ 是 $\odot O$ 的切线;
(2) 延长 $A B$ 和 $D C$ 交于点 $E$, 若 $A E=4 B E$, 求 $\cos \angle D A B$ 的值;
(3) 在 (2) 的条件下, 求 $\frac{F H}{\mathrm{AF}}$ 的值.


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答案:
(1)


\begin{aligned}
&\because O A=O C, \\
&\therefore \angle C A O=\angle A C O, \\
&\because A C \text { 平分 } \angle D A B, \\
&\therefore \angle D A C=\angle O A C, \\
&\therefore \angle D A C=\angle A C O, \\
&\therefore A D / / O C, \\
&\because C D \perp A D, \\
&\therefore O C \perp C D, \\
&\because O C \text { 是 } \odot O \text { 的半径, } \\
&\therefore C D \text { 是 } \odot O \text { 的切线; } \\
&(2) \text { 解: } \because A E=4 B E, O A=O B, \\
&\text { 设 } B E=x, \text { 则 } A B=3 x, \\
&\therefore O C=O B=1.5 x, \\
&\because A D / / O C, \\
&\therefore \angle C O E=\angle D A B, \\
&\therefore \cos \angle D A B=\cos \angle C O E=\frac{O C}{O E}=\frac{1.5 x}{2.5 x}=\frac{3}{5} ;
\end{aligned}

(3)解: 由(2)知: $O E=2.5 x, O C=1.5 x$,
$$
\begin{aligned}
&\therefore E C=\sqrt{\mathrm{OE}^{2}-0 \mathrm{C}^{2}}=\sqrt{(2.5 \mathrm{x})^{2}-(1.5 \mathrm{x})^{2}}=2 x, \\
&\because F G \perp A B, \\
&\therefore \angle A G F=90^{\circ}, \\
&\therefore \angle A F G+\angle F A G=90^{\circ}, \\
&\because \angle C O E+\angle E=90^{\circ}, \angle C O E=\angle D A B, \\
&\therefore \angle E=\angle A F H, \\
&\because \angle F A H=\angle C A E, \\
&\therefore \triangle A H F \sim \triangle A C E, \\
&\therefore \frac{\mathrm{FH}}{\mathrm{AF}}=\frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{AE}}=\frac{2 \mathrm{x}}{4 \mathrm{x}}=\frac{1}{2} .
\end{aligned}
$$
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