如图, $A B$ 是 $\odot O$ 的直径, 点 $C$ 是圆上的一点, $C D \perp A D$ 于点 $D, A D$ 交 $\odot O$ 于点 $F$, 连接 $A C$, 若 $A C$ 平分 $\angle D A B$, 过点 $F$ 作 $F G \perp A B$ 于点 $G$ 交 $A C$ 于点 $H$.
(1) 求证: $C D$ 是 $\odot O$ 的切线;
(2) 延长 $A B$ 和 $D C$ 交于点 $E$, 若 $A E=4 B E$, 求 $\cos \angle D A B$ 的值;
(3) 在 (2) 的条件下, 求 $\frac{F H}{\mathrm{AF}}$ 的值.