已知双曲线 $C$ 的中心为坐标原点, 对称轴为坐标轴, 点 $P(2,2)$ 在 $C$ 上, 点 $P$ 与 $C$ 的上、下焦点连线所在直线的斜率之积为 $-\frac{1}{2}$.
(1)求双曲线 $C$ 的标准方程;
(2)经过点 $A(0,1)$ 的直线 $l_1$ 与双曲线 $C$ 交于 $E, F$ 两点(异于点 $P$ ), 过点 $F$ 作平行于 $x$ 轴的直线 $l_2$, 直线 $P E$ 与 $l_2$ 交于点 $D$, 且 $\overrightarrow{D F}=2 \overrightarrow{B F}$ 求直线 $A B$ 的斜率.