题号:1202    题型:填空题    来源:2022年广东省中考数学试卷
如图, 四边形 $A B C D$ 内接于 $\odot O, A C$ 为 $\odot O$ 的直径, $\angle A D B=\angle C D B$.
(1) 试判断 $\triangle A B C$ 的形状, 并给出证明;
(2) 若 $A B=\sqrt{2}, A D=1$, 求 $C D$ 的长度.

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答案:
解: (1) $\triangle A B C$ 是等腰直角三角形, 证明过程如下:
$\because A C$ 为 $\odot O$ 的直径,
$\therefore \angle A D C=\angle A B C=90^{\circ}$,
$\because \angle A D B=\angle C D B$
$\therefore \widehat{\mathrm{AB}}=\widehat{\mathrm{BC}}$,
$\therefore A B=B C$,
又 $\because \angle A B C=90^{\circ}$ ,
$\therefore \triangle A B C$ 是等腰直角三角形.

(2) 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $A B=B C=\sqrt{2}$,
$\therefore A C=2$,
在 Rt $\triangle A D C$ 中, $A D=1, A C=2$,
$\therefore C D=\sqrt{3}$.
即 $C D$ 的长为: $\sqrt{3}$.
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