已知 $A_m=\left(\begin{array}{cccc}a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1, m} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2, m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m, 1} & a_{m, 2} & \cdots & a_{m, m}\end{array}\right)(m \geq 2)$ 是 $m^2$ 个正整数组成的 $m$ 行 $m$ 列的数表, 当 $1 \leq i < s \leq m, 1 \leq$ $j < t \leq m$ 时, 记 $d\left(a_{i, j}, a_{s, t}\right)=\left|a_{i, j}-a_{s, j}\right|+\left|a_{s, j}-a_{s, t}\right|$. 设 $n \in N^*$, 若 $A_m$ 满足如下两个性质:
(1) $a_{i, j} \in\{1,2,3 ; \cdots, n\}(i=1,2, \cdots, m ; j=1,2, \cdots, m)$;
(2)对任意 $k \in\{1,2,3, \cdots, n\}$, 存在 $i \in\{1,2, \cdots, m\}, j \in\{1,2, \cdots, m\}$, 使得 $a_{i, j}=k$, 则称 $A_m$ 为 $\Gamma_n$ 数表.
(1) 判断 $A_3=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2\end{array}\right)$ 是否为 $\Gamma_3$ 数表, 并求 $d\left(a_{1,1}, a_{2,2}\right)+d\left(a_{2,2}, a_{3,3}\right)$ 的值;
(2) 若 $\Gamma_2$ 数表 $A_4$ 满足 $d\left(a_{i, j}, a_{i+1, j+1}\right)=1(i=1,2,3 ; j=1,2,3)$, 求 $A_4$ 中各数之和的最小值;
(3)证明: 对任意 $\Gamma_4$ 数表 $A_{10}$, 存在 $1 \leq i < s \leq 10,1 \leq j < t \leq 10$, 使得 $d\left(a_{i, j}, a_{s, t}\right)=0$.