题号:1180    题型:解答题    来源:2000年全国硕士研究生招生考试试题
某流水生产线上每个产品不合格的概率为 $p(0 < p < 1)$, 各产品合格与否相互独立, 当出现一个不 合格产品时即停机检修. 设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为 $X$. 求 $X$ 的数学期望 $E(X)$ 和方差 $D(X)$.
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答案:
显然 $X$ 是一个离散型随机变量. 取值范围为 $1,2,3, \ldots \ldots$ 现在关键在于建立 $X$ 的 分布律. 生产线上每个产品的生产可理解为一个试验. 各个产品合格与否是相互独立的, 可 以看成是各次试验是相互独立的.生产了个产品停机, 应该理解为第 $X$ 个产品是不合格产 品, 而前 $X-1$ 个产品则必为合格产品, 这就不难写出分布律.
记 $q=1-p, X$ 的概率分布为 $P\{X=k\}=q^{k-1} p,(k=1,2 \cdots)$. 由离散型随机变量的数 学期望定义得, $X$ 的数学期望为
$$
E(X)=\sum_{k=1}^{\infty} k P\{X=k\}=\sum_{k=1}^{\infty} k q^{k-1} p=p \sum_{k=1}^{\infty}\left(q^{k}\right)^{\prime}=p\left(\sum_{k=1}^{\infty} q^{k}\right)^{\prime}=p\left(\frac{q}{1-q}\right)^{\prime}=\frac{1}{p}
$$
因为
$$
E\left(X^{2}\right)=\sum_{k=1}^{\infty} k^{2} P\{X=k\}=\sum_{k=1}^{\infty} k^{2} q^{k-1} p=p\left[q\left(\sum_{k=1}^{\infty} q^{k}\right)^{\prime}\right]^{\prime}=p\left[\frac{q}{(1-q)^{2}}\right]^{\prime}=\frac{2-p}{p^{2}}
$$
(因为幂级数在其收敛区间内可逐项求导的性质, 上面求 $E(X)$ 和 $E\left(X^{2}\right)$ 时都用到了先求导
化为易求和的级数, 再积分还原的过程.)
故 $X$ 的方差为
$$
D(X)=E\left(X^{2}\right)-[E(X)]^{2}=\frac{2-p}{p^{2}}-\frac{1}{p^{2}}=\frac{1-p}{p^{2}}
$$
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