题号:1178    题型:解答题    来源:2000年全国硕士研究生招生考试试题
设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^{*}=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 0 & 8\end{array}\right)$, 且 $\boldsymbol{A B \boldsymbol { A } ^ { - 1 }}=\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}^{-1}+3 \boldsymbol{E}$, 其中 $\boldsymbol{E}$ 为 4 阶单位矩阵, 求 矩阵 $\boldsymbol{B}$.
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答案:
【详解】方法 1: 由 $A A^{*}=A^{*} A=|A| E$, 知 $\left|A^{*}\right|=|A|^{n-1}$, 因此有 $8=\left|A^{*}\right|=|A|^{3}$,
于是 $|A|=2$, 所以 $A^{*} A=2$
等式 $A B A^{-1}=B A^{-1}+3 E$ 两边先右乘 $A$, 得 $\quad A B A^{-1} A=B A^{-1} A+3 E A$
再左乘 $A^{*}$, 得 $\quad A^{*} A B A^{-1} A=A^{*} B A^{-1} A+A^{*} 3 E A$

$$
\begin{aligned}
\text { 化简 } & \Rightarrow|A| B E=A^{*} B E+3 A^{*} A \Rightarrow 2 B=A^{*} B+3|A| E \\
& \Rightarrow 2 B=A^{*} B+6 E \Rightarrow\left(2 E-A^{*}\right) B=6 E
\end{aligned}
$$
于是
$$
\begin{aligned}
B &=\left(2 E-A^{*}\right)^{-1} \\
&=6\left[\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 3 & 0 & -6
\end{array}\right]^{-1}=6\left[\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{6}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}
6 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 6 & 0 & 0 \\
6 & 0 & 6 & 0 \\
0 & 3 & 0 & -1
\end{array}\right]
\end{aligned}
$$
(由初等变换法求得)
方法2: $|A|=2$ (同解1), 由 $A A^{*}=A^{*} A=|A| E$, 得
$$
A \mid\left(A^{*}\right)^{-1}=2\left(A^{*}\right)^{-1}=2\left[\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & \frac{3}{8} & 0 & \frac{1}{8}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}
2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 & 0 \\
-2 & 0 & 2 & 0 \\
0 & \frac{3}{4} & 0 & \frac{1}{4}
\end{array}\right] \text {, }
$$

(由初等变换法求得), 可见 $A-E$ 为逆矩阵.
于是, 由 $(A-E) B A^{-1}=3 E$, 有 $B=3(A-E)^{-1} A$, 而
$$
(A-E)^{-1}=\left[\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
-2 & 0 & 1 & 0 \\
0 & \frac{3}{4} & 0 & -\frac{3}{4}
\end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
2 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & -\frac{3}{4}
\end{array}\right]
$$
因此
$$
B=3\left[\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
2 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & -\frac{3}{4}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}
2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 & 0 \\
-2 & 0 & 2 & 0 \\
0 & \frac{3}{4} & 0 & \frac{1}{4}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}
6 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 6 & 0 & 0 \\
6 & 0 & 6 & 0 \\
0 & 3 & 0 & -1
\end{array}\right]
$$
方法3: 由题设条件 $A B A^{-1}=B A^{-1}+3 E$, 得 $(A-E) B A^{-1}=3 E$.
知: $A-E, B$ 均是可逆矩阵, 且
$$
B=3(A-E)^{-1} A=3\left[A^{-1}(A-E)\right]^{-1}=3\left(E-A^{-1}\right)^{-1}=3\left(E-\frac{A^{*}}{|A|}\right)^{-1}
$$

由 $\left|A^{*}\right|=|A|^{n-1}$, 其中 $n=4,\left|A^{*}\right|=8$, 得 $|A|=2$ 故
$$
B=3\left(E-\frac{A^{*}}{2}\right)^{-1}=3 \cdot\left(\frac{2 E-A^{*}}{2}\right)^{-1}=6\left(2 E-A^{*}\right)^{-1}
$$
其中
$$
2 E-A^{*}=\left[\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 3 & 0 & -6
\end{array}\right],\left(2 E-A^{*}\right)^{-1}=\left[\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{6}
\end{array}\right] \text {, }
$$
所以
$$
B=6\left(2 E-A^{*}\right)^{-1}=6\left[\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 3 & 0 & -6
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}
6 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 6 & 0 & 0 \\
6 & 0 & 6 & 0 \\
0 & 3 & 0 & -1
\end{array}\right]
$$
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