题号:1177    题型:解答题    来源:2000年全国硕士研究生招生考试试题
设函数 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上连续, 且 $\int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x=0, \int_{0}^{\pi} f(x) \cos x \mathrm{~d} x=0$. 试证: 在 $(0, \pi)$ 内至少存在两个 不同的点 $\xi_{1}, \xi_{2}$, 使 $f\left(\xi_{1}\right)=f\left(\xi_{2}\right)=0$.
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答案:
方法1: 令 $F(x)=\int_{0}^{x} f(t) d t, 0 \leq x \leq \pi$, 有 $F(0)=0$, 由题设有 $F(\pi)=0$.
又由题设 $\int_{0}^{\pi} f(x) \cos x d x=0$, 用分部积分, 有
$$
\begin{aligned}
0=\int_{0}^{\pi} f(x) \cos x d x &=\int_{0}^{\pi} \cos x d F(x) \\
&=\left.F(x) \cos x\right|_{0} ^{\pi}+\int_{0}^{\pi} F(x) \sin x d x=\int_{0}^{\pi} F(x) \sin x d x
\end{aligned}
$$
由积分中值定理知, 存在 $\xi \in(0, \pi)$ 使
$$
0=\int_{0}^{\pi} F(x) \sin x d x=F(\xi) \sin \xi \cdot(\pi-0)
$$
因为 $\xi \in(0, \pi), \sin \xi \neq 0$, 所以推知存在 $\xi \in(0, \pi)$, 使得 $F(\xi)=0$. 再在区间 $[0, \xi]$ 与 $[\xi, \pi]$ 上对 $F(x)$ 用罗尔定理, 推知存在 $\xi_{1} \in(0, \xi), \xi_{2} \in(\xi, \pi)$ 使 $F^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=0, F^{\prime}\left(\xi_{2}\right)=0$, 即 $f\left(\xi_{1}\right)=0, f\left(\xi_{2}\right)=0$

方法2: 由 $\int_{0}^{\pi} f(x) d x=0$ 及积分中值定理知, 存在 $\xi_{1} \in(0, \pi)$, 使 $f\left(\xi_{1}\right)=0$. 若在区间 $(0, \pi)$ 内 $f(x)$ 仅有一个零点 $\xi_{1}$, 则在区间 $\left(0, \xi_{1}\right)$ 与 $\left(\xi_{1}, \pi\right)$ 内 $f(x)$ 异号. 不妨设在 $\left(0, \xi_{1}\right)$ 内 $f(x) > 0$, 在 $\left(\xi_{1}, \pi\right)$ 内 $f(x) < 0$. 于是由 $\int_{0}^{\pi} f(x) d x=0, \int_{0}^{\pi} f(x) \cos x d x=0$, 有
$$
\begin{aligned}
0 &=\int_{0}^{\pi} f(x) \cos x d x-\int_{0}^{\pi} f(x) \cos \xi_{1} d x=\int_{0}^{\pi} f(x)\left(\cos x-\cos \xi_{1}\right) d x \\
&=\int_{0}^{\zeta} f(x)\left(\cos x-\cos \xi_{1}\right) d x+\int_{\xi_{1}}^{\pi} f(x)\left(\cos x-\cos \xi_{1}\right) d x
\end{aligned}
$$
当 $0 < x < \xi_{1}$ 时, $\cos x > \cos \xi_{1}, f(x)\left(\cos x-\cos \xi_{1}\right) > 0$; 当 $\xi_{1} < x < \pi$ 时,
$\cos x < \cos \xi_{1}$, 仍有 $f(x)\left(\cos x-\cos \xi_{1}\right) > 0$, 得到: $0 > 0$. 矛盾, 此矛盾证明了 $f(x)$
在 $(0, \pi)$ 仅有 1 个零点的假设不正确, 故在 $(0, \pi)$ 内 $f(x)$ 至少有 2 个不同的零点.
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