题号:1170    题型:单选题    来源:2000年全国硕士研究生招生考试试题
设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从二维正态分布, 则随机变量 $\xi=X+Y$ 与 $\eta=X-Y$ 不相关的充分 必要条件为 ( )
$A.$ $E(X)=E(Y)$. $B.$ $E\left(X^{2}\right)-[E(X)]^{2}=E\left(Y^{2}\right)-[E(Y)]^{2}$. $C.$ $E\left(X^{2}\right)=E\left(Y^{2}\right)$. $D.$ $E\left(X^{2}\right)+[E(X)]^{2}=E\left(Y^{2}\right)+[E(Y)]^{2}$.
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答案:
B

解析:

$\xi$ 和 $\eta$ 不相关的充分必要条件是它们的相关系数
$$
\rho_{\xi \eta}=\frac{\operatorname{Cov}(\xi, \eta)}{\sqrt{D(\xi)} \cdot \sqrt{D(\eta)}}=0 \Leftrightarrow \operatorname{Cov}(\xi, \eta)=0
$$
由协方差的性质: $\operatorname{cov}(a X+b Y, Z)=a \operatorname{cov}(X, Z)+b \operatorname{cov}(Y, Z)$

$$
\begin{aligned}
\operatorname{Cov} &(\xi, \eta)=\operatorname{Cov}(X+Y, X-Y) \\
&=\operatorname{Cov}(X, X)-\operatorname{Cov}(X, Y)+\operatorname{Cov}(Y, X)-\operatorname{Cov}(Y, Y) \\
&=\operatorname{Cov}(X, X)-\operatorname{Cov}(Y, Y)=D(X)-D(Y)
\end{aligned}
$$
可见
$$
\begin{aligned}
&\operatorname{Cov}(\xi, \eta)=0 \Leftrightarrow D(X)-D(Y)=0 \Leftrightarrow D(X)=D(Y) \\
&\Leftrightarrow E\left(X^{2}\right)-[E(X)]^{2}=E\left(Y^{2}\right)-[E(Y)]^{2}\left(\text { 由方差定义 } D X=E X^{2}-(E X)^{2}\right)
\end{aligned}
$$
故正确选项为 $(B)$.

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