【ID】1168 【题型】单选题 【类型】考研真题 【来源】2000年全国硕士研究生招生考试试题
设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛, 则必收敛的级数为 ( )
$A.$ $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{u_{n}}{n}$. $B.$ $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{2}$. $C.$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{2 n-1}-u_{2 n}\right)$. $D.$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+u_{n+1}\right)$.
答案:
D

解析:

方法 1: 直接法. 由 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛, 所以 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n+1}$ 也收敛. 由收敛级数的性质(如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 、
$\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}$ 分别收敛于 $s 、 \sigma$, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n} \pm v_{n}\right)$ 也收敛, 且其和为 $s \pm \sigma$ ). 知 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+u_{n+1}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}+\sum_{n=1}^{\infty} u_{n+1}$. 选项 $(D)$ 成立.
方法 2: 间接法. 找反例:
$$
(A): \text { 取 } u_{n}=(-1)^{n} \frac{1}{\ln (1+n)} \text {, 级数 } \sum_{n=1}^{\infty} u_{n} \text { 收玫, 但 } \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{u_{n}}{n}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n \ln (1+n)}
$$
是发散的; (关于上述结束的敛散, 有下述结果:
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1) \ln ^{p}(1+n)} \begin{cases}\text { 收敛 } & \text { 当 } p > 1 \\ \text { 发散 } & \text { 当 } p \leq 1\end{cases}
$$
(B): 取 $u_{n}=\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}$, 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛, $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{2}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 发散;
$(C)$ : 取 $u_{n}=\frac{(-1)^{n-1}}{n}$, 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛, 但
$$
u_{2 n-1}-u_{2 n}=\frac{1}{2 n-1}+\frac{1}{2 n}=\frac{4 n-1}{2 n(2 n-1)} \sim \frac{1}{n}
$$
由比较审敛法的极限形式知, 级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{2 n-1}-u_{2 n}\right)$ 发散.

视频讲解

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