题号:1165    题型:填空题    来源:2000年全国硕士研究生招生考试试题
类型:考研真题
设两个相互独立的事件 $A$ 和 $B$ 都不发生的概率为 $\frac{1}{9}, A$ 发生 $B$ 不发生的概率与 $B$ 发生 $A$ 不发生 的概率相等, 则 $P(A)=$
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答案:
$2 / 3($ 由 $A, B$ 独立的定义: $P(A B)=P(A) P(B))$

解析:

由题设, 有 $P(\bar{A} \bar{B})=\frac{1}{9}, P(A \bar{B})=P(\bar{A} B)$
因为 $A$ 和 $B$ 相互独立, 所以 $A$ 与 $\bar{B}, \bar{A}$ 与 $B$ 也相互独立.
于是由 $P(A \bar{B})=P(\bar{A} B)$, 有 $P(A) P(\bar{B})=P(\bar{A}) P(B)$
即有 $P(A)[1-P(B)]=[1-P(A)] P(B)$,
可得 $P(A)=P(B), P(\bar{A})=P(\bar{B})$
从而 $P(\bar{A} \bar{B})=P(\bar{A}) P(\bar{B})=[P(\bar{A})]^{2}=[1-P(A)]^{2}=\frac{1}{9}$,
解得 $P(A)=\frac{2}{3}$.

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