【ID】1164 【题型】填空题 【类型】考研真题 【来源】2000年全国硕士研究生招生考试试题
已知方程组 $\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & a+2 \\ 1 & a & -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 0\end{array}\right)$ 无解, 则 $a=$
答案:
-1

解析:

化增广矩阵为阶梯形, 有
$$
\left[\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 1 & \vdots & 1 \\
2 & 3 & a+2 & \vdots & 3 \\
1 & a & -2 & \vdots & 0
\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 1 & \vdots & 1 \\
0 & -1 & a & \vdots & 1 \\
0 & a-2 & -3 & \vdots & -1
\end{array}\right]
$$
$$
\rightarrow\left[\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 1 & \vdots & 1 \\
0 & -1 & a & \vdots & 1 \\
0 & 0 & (a-3)(a+1) & \vdots & a-3
\end{array}\right]
$$
当 $a=-1$ 时, 系数矩阵的秩为 2 , 而增广矩阵的秩为 3 , 根据方程组解的判定, 其系数矩 阵与增广矩阵的秩不同, 因此方程组无解.
当 $a=3$ 时, 系数矩阵和增光矩阵的秩均为 2 , 由方程组解的判定, 系数矩阵的秩等于增 广矩阵的秩, 而且小于末知量的个数, 所以方程组有无穷多解.

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