设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}a & -1 & c \\ 5 & b & 3 \\ 1-c & 0 & -a\end{array}\right)$, 其行列式 $|\boldsymbol{A}|=-1$, 又 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵 $\boldsymbol{A} \cdot$ 有一个特征值 $\lambda_{0}$, 属于 $\lambda_{0}$ 的一个特征向量为 $\boldsymbol{\alpha}=(-1,-1,1)^{\mathrm{T}}$, 求 $a, b, c$ 和 $\lambda_{0}$ 的值.