【ID】1124 【题型】解答题 【类型】考研真题 【来源】1999年全国硕士研究生招生考试试题
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}a & -1 & c \\ 5 & b & 3 \\ 1-c & 0 & -a\end{array}\right)$, 其行列式 $|\boldsymbol{A}|=-1$, 又 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵 $\boldsymbol{A} \cdot$ 有一个特征值 $\lambda_{0}$, 属于 $\lambda_{0}$ 的一个特征向量为 $\boldsymbol{\alpha}=(-1,-1,1)^{\mathrm{T}}$, 求 $a, b, c$ 和 $\lambda_{0}$ 的值.
答案:
根据题设, $A^{*}$ 有一个特征值 $\lambda_{0}$, 属于 $\lambda_{0}$ 的一个特征向量为 $\alpha=(-1,-1,1)^{T}$, 根据 特征值和特征向量的概念, 有 $A^{*} \alpha=\lambda_{0} \alpha$,
把 $|A|=-1$ 代入 $A A^{*}=|A| E$ 中, 得 $A A^{*}=|A| E=-E$, 则 $A A^{*} \alpha=-E \alpha=-\alpha$. 把 $A^{*} \alpha=\lambda_{0} \alpha$ 代入, 于是 $A A^{*} \alpha=A \lambda_{0} \alpha=\lambda_{0} A \alpha$, 即 $-\alpha=\lambda_{0} A \alpha$
也即 $\lambda_{0}\left[\begin{array}{ccc}a & -1 & c \\ 5 & b & 3 \\ 1-c & 0 & -a\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right]=-\left[\begin{array}{c}-1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right], \Rightarrow \lambda_{0}\left[\begin{array}{c}-a+1+c \\ -5-b+3 \\ -(1-c)-a\end{array}\right]=-\left[\begin{array}{c}-1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right]$ 常数 $\lambda_{0}$ 乘以矩阵 $\left[\begin{array}{c}-a+1+c \\ -5-b+3 \\ -(1-c)-a\end{array}\right]$, 需用 $\lambda_{0}$ 乘以矩阵的每一个元素
$$
\lambda_{0}\left[\begin{array}{c}
-a+1+c \\
-5-b+3 \\
-(1-c)-a
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
\lambda_{0}(-a+1+c) \\
\lambda_{0}(-5-b+3) \\
\lambda_{0}[-(1-c)-a]
\end{array}\right]=-\left[\begin{array}{c}
-1 \\
-1 \\
1
\end{array}\right]
$$
矩阵相等, 则矩阵的对应元素都相同, 可得
$$
\left\{\begin{array}{l}
\lambda_{0}(-a+1+c)=1 \\
\lambda_{0}(-5-b+3)=1 \\
\lambda_{0}(-1+c-a)=-1
\end{array}\right.
$$
因 $|A|=-1 \neq 0, A$ 的特征值 $\lambda \neq 0, A^{*}$ 的特征值 $\lambda^{*}=\frac{|A|}{\lambda} \neq 0$, 故 $\lambda_{0} \neq 0$ 由(1),(3)两式得
$$
\lambda_{0}(-a+1+c)=-\lambda_{0}(-1+c-a),
$$
两边同除 $\lambda_{0}$, 得 $-a+1+c=-(-1+c-a)$
整理得 $a=c$, 代入(1)中, 得 $\lambda_{0}=1$. 再把 $\lambda_{0}=1$ 代入(2)中得 $b=-3$
又由 $|A|=-1, b=-3$ 以及 $a=c$, 有
$$
=3(a-1)-2 a=a-3=-1
$$
故 $a=c=2$, 因此 $a=2, b=-3, c=2, \lambda_{0}=1$.

解析:

视频讲解

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