题号:1123    题型:解答题    来源:1999年全国硕士研究生招生考试试题
类型:考研真题
设 $a_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan ^{n} x \mathrm{~d} x$,
(1) 求 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\left(a_{n}+a_{n+2}\right)$ 的值;
(2) 试证: 对任意的常数 $\lambda > 0$, 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{\lambda}}$ 收敛
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答案:
(1) 因为 $\frac{1}{n}\left(a_{n}+a_{n+2}\right)=\frac{1}{n} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan ^{n} x\left(1+\tan ^{2} x\right) d x=\frac{1}{n} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan ^{n} x \sec ^{2} x d x$
$$
=\frac{1}{n} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan ^{n} x d \tan x \stackrel{\tan x=t}{=} \frac{1}{n} \int_{0}^{1} t^{n} d t=\frac{1}{n(n+1)}
$$
又由部分和数列
$$
S_{n}=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i}\left(a_{i}+a_{i+2}\right)=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i(i+1)}=\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{1}{i}-\frac{1}{i+1}\right)=1-\frac{1}{n+1},
$$
有 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}=1$,
因此 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\left(a_{n}+a_{n+2}\right)=1$.
(2) 先估计 $a_{n}$ 的值, 因为
$$
a_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan ^{n} x d x \text {, 令 } t=\tan x \text {, 则 } d t=\sec ^{2} x d x \text {, 即 } d x=\frac{d t}{1+t^{2}}
$$
所以 $a_{n}=\int_{0}^{1} \frac{t^{n}}{1+t^{2}} < \int_{0}^{1} t^{n} d t=\frac{1}{n+1}$,
所以 $\frac{a_{n}}{n^{\lambda}} < \frac{1}{n^{\lambda}(n+1)} < \frac{1}{n^{\lambda+1}}$,
由于 $\lambda+1 > 0$, 所以 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\lambda+1}}$ 收玫, 从而 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{\lambda}}$ 也收敛.

解析:

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