题号:1120    题型:解答题    来源:1999年全国硕士研究生招生考试试题
试证: 当 $x > 0$ 时, $\left(x^{2}-1\right) \ln x \geqslant(x-1)^{2}$.
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答案:
构造函数, 利用函数的单调性,
证法1: 令 $f(x)=\left(x^{2}-1\right) \ln x-(x-1)^{2}$. 易知 $f(1)=0$
$$
\begin{aligned}
&f^{\prime}(x)=2 x \ln x-x+2-\frac{1}{x}, f^{\prime}(1)=0 \\
&f^{\prime \prime}(x)=2 \ln x+1+\frac{1}{x^{2}}, f^{\prime \prime}(1)=2 > 0
\end{aligned}
$$
$$
f^{\prime \prime \prime}(x)=\frac{2\left(x^{2}-1\right)}{x^{3}}
$$
可见, 当 $0 < x < 1$ 时, $\left\{\begin{array}{l}f^{\prime \prime \prime}(x) < 0 \\ f^{\prime \prime}(x) \searrow\end{array}\right.$; 当 $1 < x < +\infty$ 时, $\left\{\begin{array}{l}f^{\prime \prime \prime}(x) > 0 \\ f^{\prime \prime}(x) > \end{array}\right.$ 因此, $f^{\prime \prime}(1)=2$ 为 $f^{\prime \prime}(x)$ 的最小值, 即当 $0 < x < +\infty$ 时, $f^{\prime \prime}(x) \geq f^{\prime \prime}(1)=2 > 0$, 所 以 $f^{\prime}(x)$ 为单调增函数. 又因为 $f^{\prime}(1)=0$, 所以有
$$
0 < x < 1 \text { 时 } f^{\prime}(x) < 0 ; 1 < x < +\infty \text { 时 } f^{\prime}(x) > 0 \text {, }
$$
所以利用函数单调性可知, $f(1)$ 为 $f(x)$ 的最小值, 即 $f(x) \geq f(1)=0$
所以有 $x > 0$ 时, $\left(x^{2}-1\right) \ln x \geq(x-1)^{2}$.

证法 2: 先对要证的不等式作适当变形, 当 $x=1$ 时, 原不等式显然成立;
当 $0 < x < 1$ 时,原不等式等价于 $\ln x \leq \frac{x-1}{x+1}$;
当 $1 < x < +\infty$ 时, 原不等式等价于 $\ln x \geq \frac{x-1}{x+1}$;
令 $f(x)=\ln x-\frac{x-1}{x+1}$
则 $f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}-\frac{2}{(x+1)^{2}}=\frac{x^{2}+1}{x(x+1)^{2}} > 0(x > 0)$
又因为 $f(1)=0$, 利用函数单调性可知
当 $0 < x < 1$ 时, $f(x) < 0$, 即 $\ln x < \frac{x-1}{x+1}$; 当 $1 < x < +\infty$ 时, $f(x) > 0$, 即 $\ln x > \frac{x-1}{x+1}$;
综上所述, 当 $x > 0$ 时, $\left(x^{2}-1\right) \ln x \geq(x-1)^{2}$.
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