题号:1118    题型:解答题    来源:1999年全国硕士研究生招生考试试题
求 $I=\int_{L}\left[\mathrm{e}^{x} \sin y-b(x+y)\right] \mathrm{d} x+\left(\mathrm{e}^{x} \cos y-a x\right) \mathrm{d} y$, 其中 $a, b$ 为正的常数, $L$ 为从点 $A(2 a, 0)$ 沿曲 线 $y=\sqrt{2 a x-x^{2}}$ 到点 $O(0,0)$ 的弧.
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答案:
方法1:

凑成闭合曲线, 应用格林公式.
添加从点 $O(0,0)$ 沿 $y=0$ 到点 $A(2 \mathrm{a}, 0)$ 的有向直 线段 $L_{1}$, 如图, 则
$$
\begin{aligned}
I=& \int_{L+L_{1}}\left(e^{x} \sin y-b(x+y)\right) d x+\left(e^{x} \cos y-a x\right) d y \\
&-\int_{L_{1}}\left(e^{x} \sin y-b(x+y)\right) d x+\left(e^{x} \cos y-a x\right) d y
\end{aligned}
$$
利用格林公式, 前一积分
$$
I_{1}=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) d x d y=\iint_{D}(b-a) d x d y=\frac{\pi}{2} a^{2}(b-a)
$$
其中 $D$ 为 $L_{1}+L$ 所围成的半圆域, 后一积分选择 $x$ 为参数, 得 $L_{1}$ :
$$
\left\{\begin{array}{l}
x=x \\
y=0
\end{array},(0 \leq x \leq 2 a),\right.
$$
可直接积分 $\quad I_{2}=\int_{0}^{2 a}(-b x) d x=-2 a^{2} b$, 故 $I=I_{1}-I_{2}=\left(\frac{\pi}{2}+2\right) a^{2} b-\frac{\pi}{2} a^{3}$.

方法2: 将曲线积分分成两部分, 其中一部分与路径无关, 余下的积分利用曲线的参数方程计算.
$$
\begin{aligned}
I &=\int_{L}\left(e^{x} \sin y-b(x+y)\right) d x+\left(e^{x} \cos y-a x\right) d y \\
&=\int_{L} e^{x} \sin y d x+e^{x} \cos y d y-\int_{L} b(x+y) d x+a x d y
\end{aligned}
$$
前一积分与路径无关, 所以
$$
\int_{L} e^{x} \sin y d x+e^{x} \cos y d y=\left.e^{x} \sin y\right|_{(2 a, 0)} ^{(0,0)}=0
$$
对后一积分, 取 $L$ 的参数方程
\begin{aligned}
&\left\{\begin{array} { c }
{ x = a + a \operatorname { c o s } t } \\
{ y = a \operatorname { s i n } t }
\end{array} , \text { 则 } \left\{\begin{array}{c}
d x=-a \sin t d t \\
d y=a \cos t d t
\end{array}, t \text { 从 } 0 \text { 到 } \pi,\right.\right. \text { 得 }\\
\int_{L} b(x+y) d x+a x d y \\
&=\int_{0}^{\pi}\left(-a^{2} b \sin t-a^{2} b \sin t \cos t-a^{2} b \sin ^{2} t+a^{3} \cos t+a^{3} \cos ^{2} t\right) d t \\
&=-2 a^{2} b-\frac{1}{2} \pi a^{2} b+\frac{1}{2} \pi a^{3} \\
\text { 从而 } \quad I &=0-\left(-2 a^{2} b-\frac{1}{2} \pi a^{2} b+\frac{1}{2} \pi a^{3}\right)=\left(\frac{\pi}{2}+2\right) a^{2} b-\frac{\pi}{2} a^{3}
\end{aligned}

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