题号:1116    题型:单选题    来源:1999年全国硕士研究生招生考试试题
设两个相互独立的随机变量 $X$ 和 $Y$ 分别服从正态分布 $N(0,1)$ 和 $N(1,1)$, 则( )
$A.$ $P\{X+Y \leqslant 0\}=\frac{1}{2}$. $B.$ $P\{X+Y \leqslant 1\}=\frac{1}{2}-$ $C.$ $P\{X-Y \leqslant 0\}=\frac{1}{2}$. $D.$ $P\{X-Y \leqslant 1\}=\frac{1}{2}$.
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答案:
B

解析:

【详解】根据正态分布的性质:服从正态分布的独立随机变量的线性组合仍服从正态分布.
因 $X$ 和 $Y$ 相互独立, 且 $X \sim N(0,1), Y \sim N(1,1)$, 所以
$$
T_{1}=X+Y \sim N\left(u_{1}, \sigma_{1}^{2}\right), T_{2}=X-Y \sim N\left(u_{2}, \sigma_{2}^{2}\right)
$$
其中 $u_{1}=E(X+Y), \sigma_{1}^{2}=D(X+Y), \quad u_{2}=E(X-Y), \quad \sigma_{2}^{2}=D(X-Y)$
由期望的性质: $E\left(T_{1}\right)=E(X+Y)=E X+E Y=0+1=1$,
$$
E\left(T_{2}\right)=E(X-Y)=E X-E Y=0-1=-1
$$
由独立随机变量方差的性质: $D\left(T_{1}\right)=D(X+Y)=D X+D Y=1+1=2$
$$
D\left(T_{2}\right)=D(X-Y)=D X+D Y=1+1=2
$$
所以 $T_{1}=X+Y \sim N(1,2), T_{2}=X-Y \sim N(-1,2)$
(一般来说遇到正态分布的小题, 主要就考两点, 标准化和对称性, 考虑问题也是从这两点 出发)
A选项: $P\{X+Y \leq 0\}=\frac{1}{2}$. 因 $T_{1}=X+Y \sim N(1,2)$
由标准化的定义: 若 $X \sim N\left(u, \sigma^{2}\right)$, 则 $\frac{X-u}{\sigma} \sim N(0,1)$
所以, $\frac{X+Y-1}{\sqrt{2}} \sim N(0,1)$, 将其标准化有
$$
P\{X+Y \leq 0\}=P\left\{\frac{X+Y-1}{\sqrt{2}} \leq \frac{0-1}{\sqrt{2}}\right\}=P\left\{\frac{X+Y-1}{\sqrt{2}} \leq-\frac{1}{\sqrt{2}}\right\}
$$
(保证变换过程中概率不变, 所以不等号的左边怎么变, 右边也同样的变化)
又因为标准正态分布图像是关于 $y$ 轴对称, 所以
$P\left\{\frac{X+Y-1}{\sqrt{2}} \leq 0\right\}=\frac{1}{2}$, 而 $P\left\{\frac{X+Y-1}{\sqrt{2}} \leq-\frac{1}{\sqrt{2}}\right\} < \frac{1}{2}$, 所以A错.
B选项: $P\{X+Y \leq 1\}=\frac{1}{2}$.
将其标准化有: $P\left\{\frac{X+Y-1}{\sqrt{2}} \leq \frac{1-1}{\sqrt{2}}\right\}=P\left\{\frac{X+Y-1}{\sqrt{2}} \leq 0\right\}=\frac{1}{2}$ (根据标准正态分布的对称性) 故B正确.
C选项: $P\{X-Y \leq 0\}=\frac{1}{2}$.

将其标准化有: $P\left\{\frac{X-Y-(-1)}{\sqrt{2}} \leq \frac{0-(-1)}{\sqrt{2}}\right\}=P\left\{\frac{X-Y+1}{\sqrt{2}} \leq \frac{1}{\sqrt{2}}\right\} > \frac{1}{2}$, 故C错. D选项: $P\{X-Y \leq 1\}=\frac{1}{2}$.
将其标准化有: $\mathrm{P}\left\{\frac{X-Y-(-1)}{\sqrt{2}} \leq \frac{1-(-1)}{\sqrt{2}}\right\}=P\left\{\frac{X-Y+1}{\sqrt{2}} \leq \frac{2}{\sqrt{2}}\right\} > \frac{1}{2}$, 故D错.
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