【ID】1115 【题型】单选题 【类型】考研真题 【来源】1999年全国硕士研究生招生考试试题
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵, $\boldsymbol{B}$ 是 $n \times m$ 矩阵, 则 $(\quad)$
$A.$ 当 $m > n$ 时, 必有行列式 $|\boldsymbol{A B}| \neq 0$. $B.$ 当 $m > n$ 时, 必有行列式 $|\boldsymbol{A B}|=0$. $C.$ 当 $n > m$ 时, 必有行列式 $|\boldsymbol{A B}| \neq 0$. $D.$ 当 $n > m$ 时, 必有行列式 $|\boldsymbol{A B}|=0$.
答案:
B

解析:

方法1: $A$ 是 $m \times n$ 矩阵, $B$ 是 $n \times m$ 矩阵, 则 $A B$ 是 $m$ 阶方阵, 因
$$
r(A B) \leq \min [r(A), r(B)] \leq \min (m, n) .
$$
当 $m > n$ 时, 有 $r(A B) \leq \min [r(A), r(B)] \leq n < m$. ( $(A B) x=0$ 的系数矩阵的秩小于末知 数的个数), 故有行列式 $|A B|=0$, 故应选(B).
方法 2: $B$ 是 $n \times m$ 矩阵, 当 $m > n$ 时, 则 $r(B)=n$ (系数矩阵的秩小于末知数的个数), 方程 组 $B x=0$ 必有非零解, 即存在 $x_{0} \neq 0$, 使得 $B x_{0}=0$, 两边左乘 $A$, 得 $A B x_{0}=0$, 即 $A B x=0$ 有非零解, 从而 $|A B|=0$, 故选(B).
方法 3: 用排除法
(A) $m > n$, 取 $A_{m \times n}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right), B_{n \times m}=\left(\begin{array}{ll}0 & 0\end{array}\right), A B=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right),|A B|=0$, (A) 不成立
(C) $n > m$, 取 $A_{m \times n}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0\end{array}\right), B_{n \times m}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right), A B=0,|A B|=0$, (C) 不成立
(D) $n > m$, 取 $A_{m \times n}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0\end{array}\right), B_{n \times m}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right), A B=1,|A B|=1$, (D) 不成立, 故选(B).

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