【ID】1114 【题型】单选题 【类型】考研真题 【来源】1999年全国硕士研究生招生考试试题
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & 0 \leqslant x \leqslant \frac{1}{2}, \\ 2-2 x, & \frac{1}{2} < x < 1,\end{array} S(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos n \pi x,-\infty < x < +\infty\right.$, 其中 $a_{n}=2 \int_{0}^{1} f(x) \cos n \pi x \mathrm{~d} x,(n=0,1,2, \cdots)$, 则 $S\left(-\frac{5}{2}\right)$ 等于( $)$
$A.$ $\frac{1}{2}$. $B.$ $-\frac{1}{2}$. $C.$ $\frac{3}{4}$. $D.$ $-\frac{3}{4}$.
答案:
C

解析:

由题设知, 应先将 $f(x)$ 从 $[0,1)$ 作偶延拓, 使之成为区间 $[-1,1]$ 上的偶函数, 然后再作 周期(周期 2 )延拓, 进一步展开为傅里叶级数,
$$
S\left(-\frac{5}{2}\right)=S\left(-2-\frac{1}{2}\right)=S\left(-\frac{1}{2}\right)=S\left(\frac{1}{2}\right)
$$
而 $x=\frac{1}{2}$ 是 $f(x)$ 的间断点, 按狄利克雷定理有,
$$
S\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{f\left(\frac{1}{2}-0\right)+f\left(\frac{1}{2}+0\right)}{2}=\frac{\frac{1}{2}+1}{2}=\frac{3}{4} .
$$

视频讲解

提示1:如果发现题目有错或排版有误或您有更好的解题方法,请点击“编辑”功能进行更新。
提示2: Kmath一直以来坚持内容免费,这导致我们亏损严重。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元, 我们一个月内就能脱离亏损, 并保证在接下来的一整年里继续免费提供优质内容。捐赠
关闭