题号:1110    题型:填空题    来源:1999年全国硕士研究生招生考试试题
设 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的元素全为 1 , 则 $\boldsymbol{A}$ 的 $n$ 个特征值是
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答案:
因为
$$
\lambda E-A=\left(\begin{array}{cccc}
\lambda-1 & -1 & \ldots & -1 \\
-1 & \lambda-1 & \ldots & -1 \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
-1 & -1 & \ldots & \lambda-1
\end{array}\right) \text { (对应元素相减) }
$$
两边取行列式,
$|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{cccc}\lambda-1 & -1 & \ldots & -1 \\ -1 & \lambda-1 & \ldots & -1 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ -1 & -1 & \ldots & \lambda-1\end{array}\right| \stackrel{\text { 把第 } 2, \ldots, n \text { 到第1列 }}{=}\left|\begin{array}{cccc}\lambda-n & -1 & \ldots & -1 \\ \lambda-n & \lambda-1 & \ldots & -1 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \lambda-n & -1 & \ldots & \lambda-1\end{array}\right|$
$=\lambda^{n-1}(\lambda-n)$
令 $|\lambda E-A|=\lambda^{n-1}(\lambda-n)=0$, 得 $\lambda_{1}=n$ (1重), $\lambda_{2}=0((n-1)$ 重), 故矩阵 $A$ 的 $n$ 个特征值 是 $n$ 和 $0((n-1)$ 重 $)$

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