题号:1083    题型:解答题    来源:1998年全国硕士研究生招生考试试题
从正态总体 $N\left(3.4,6^{2}\right)$ 中抽取容量为 $n$ 的样本, 如果要求其样本均值位于区间 $(1.4,5.4)$ 内的概 率不小于 $0.95$, 问样本容量 $n$ 至少应取多大?
附表:标准正态分布表
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\Phi(z)=\int_{-\infty}^{z} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{-\frac{1^{2}}{2}} \mathrm{~d} t
$$
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答案:
由题知: $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n} \sim N\left(3.4,6^{2}\right), \bar{X}_{n}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}$, 各样本相互独立, 根据独立
正态随机变量的性质, $\bar{X}_{n}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i} \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$. 其中 $\mu=E \bar{X}_{n}=E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}\right)$,
$$
\sigma^{2}=D \bar{X}_{n}=D\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}\right)
$$
根据期望和方差的性质,
$$
\begin{aligned}
&\mu=E \bar{X}_{n}=E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}\right)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E X_{i}=\frac{3.4 n}{n}=3.4 \\
&\sigma^{2}=D \bar{X}_{n}=D\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}\right)=\frac{1}{n^{2}} D\left(\sum_{i=1}^{n} X_{i}\right)=\frac{1}{n^{2}} \sum_{i=1}^{n} D X_{i}=\frac{6^{2} n}{n^{2}}=\frac{6^{2}}{n}
\end{aligned}
$$
所以, $\bar{X}_{n}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i} \sim N\left(3.4, \frac{6^{2}}{n}\right)$. 把 $\bar{X}_{n}$ 标准化, $U=\frac{\bar{X}_{n}-3.4}{6 / \sqrt{n}} \sim N(0,1)$.
从而,
$$
\begin{aligned}
P\{1.4 < \overline{\mathrm{X}} < 5.4\} &=P\{1.4-3.4 < \overline{\mathrm{X}}-3.4 < 5.4-3.4\} \\
&=P\{-2 < \overline{\mathrm{X}}-3.4 < 2\}=P\{|\overline{\mathrm{X}}-3.4| < 2\} \\
&=P\left\{\frac{|\overline{\mathrm{X}}-3.4|}{6} \sqrt{n} < \frac{2 \sqrt{n}}{6}\right\}=2 \Phi\left(\frac{\sqrt{n}}{3}\right)-1 \geq 0.95,
\end{aligned}
$$
故 $\Phi\left(\frac{\sqrt{n}}{3}\right) \geq 0.975$, 查表得到 $\frac{\sqrt{n}}{3} \geq 1.96$, 即 $n \geq(1.96 \times 3)^{2} \approx 34.57$, 所以 $n$ 至少应取 35 .
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