题号:1082    题型:解答题    来源:1998年全国硕士研究生招生考试试题
类型:考研真题
设两个随机变量 $X, Y$ 相互独立, 且都服从均值为 0 , 方差为 $\frac{1}{2}$ 的正态分布, 求随机变量 $|X-Y|$ 的 方差.
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答案:
令 $Z=X-Y$, 由于 $X, Y$ 相互独立, 且都服从正态分布, 因此 $Z$ 也服从正态分布, 且
$$
E(Z)=E(X)-E(Y)=0, D(Z)=D(X)+D(Y)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1
$$
于是, $Z=X-Y \sim N(0,1)$.
$$
\begin{aligned}
D|X-Y| &=D(|Z|)=E\left(|Z|^{2}\right)-(E|Z|)^{2} \\
&=D(Z)+(E(Z))^{2}-(E|Z|)^{2}=1-(E|Z|)^{2}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
E|Z| &=\int_{-\infty}^{+\infty}|z| \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{z^{2}}{2}} d z=\frac{2}{\sqrt{2 \pi}} \int_{0}^{+\infty} z e^{-\frac{z^{2}}{2}} d z \\
&=\frac{2}{\sqrt{2 \pi}} \int_{0}^{+\infty} e^{-\frac{z^{2}}{2}} d\left(\frac{z^{2}}{2}\right)=\frac{2}{\sqrt{2 \pi}}\left[-e^{-\frac{z^{2}}{2}}\right]_{0}^{+\infty}=\sqrt{\frac{2}{\pi}}
\end{aligned}
$$
故 $D|X-Y|=1-\frac{2}{\pi}$.

解析:

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