题号:1081    题型:解答题    来源:1998年全国硕士研究生招生考试试题
类型:考研真题
已知线性方程组
$$
\text { ( I ) }\left\{\begin{array}{c}
a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1,2 n} x_{2 n}=0, \\
a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2,2 n} x_{2 n}=0, \\
\cdots \cdots \\
a_{n 1} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\cdots+a_{n, 2 n} x_{2 n}=0
\end{array}\right.
$$
的一个基础解系为 $\left(b_{11}, b_{12}, \cdots, b_{1,2 n}\right)^{\mathrm{T}},\left(b_{21}, b_{22}, \cdots, b_{2,2 n}\right)^{\mathrm{T}}, \cdots,\left(b_{n 1}, b_{n 2}, \cdots, b_{n, 2 n}\right)^{\mathrm{T}}$. 试写出线性方程组 || 的
$$
\left\{\begin{array}{c}
b_{11} y_{1}+b_{12} y_{2}+\cdots+b_{1,2 n} y_{2 n}=0 \\
b_{21} y_{1}+b_{22} y_{2}+\cdots+b_{2,2 n} y_{2 n}=0 \\
\cdots \cdots \\
b_{n 1} y_{1}+b_{n 2} y_{2}+\cdots+b_{n, 2 n} y_{2 n}=0
\end{array}\right.
$$
的通解, 并说明理由.
编辑试题 我来讲解
答案:
$(I I)$ 的通解为
$$
k_{1} \xi_{1}+k_{2} \xi_{2}+\cdots+k_{n} \xi_{n},
$$
其中, $\xi_{1}=\left(a_{11}, a_{12}, \cdots, a_{1,2 n}\right)^{T}, \xi_{2}=\left(a_{21}, a_{22}, \cdots, a_{2,2 n}\right)^{T}, \cdots, \xi_{n}=\left(a_{n 1}, a_{n 2}, \cdots, a_{n, 2 n}\right)^{T}$, $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}$ 为任意常数.
理由: 可记方程组 $(I) A_{n \times 2 n} X=0,(I I) B_{n \times 2 n} Y=0,(I),(I I)$ 的系数矩阵分别记为 $A, B$, 由 于 $B$ 的每一行都是 $A_{n \times 2 n} X=0$ 的解, 故 $A B^{T}=0 . B^{T}$ 的列是 $(I)$ 的基础解系, 故由基础解系
的定义知, $B^{T}$ 的列向量是线性无关的, 因此 $r(B)=n$. 故基础解系所含向量的个数
$n=2 n-r(A)$, 得 $r(A)=2 n-n=n$. 因此, $A$ 的行向量线性无关.
对 $A B^{T}=0$ 两边取转置, 有 $\left(A B^{T}\right)^{T}=B A^{T}=0$, 则有 $A^{T}$ 的列向量, 即 $A$ 的行向量是 $B Y=0$ 的线性无关的解.
又 $r(B)=n$, 故 $B Y=0$ 基础解系所含向量的个数应为 $2 n-r(B)=2 n-n=n$, 恰好等 于 $A$ 的行向量个数. 故 $A$ 的行向量组是 $B Y=0$ 的基础解系, 其通解为
$$
k_{1} \xi_{1}+k_{2} \xi_{2}+\cdots+k_{n} \xi_{n},
$$
其中, $\xi_{1}=\left(a_{11}, a_{12}, \cdots, a_{1,2 n}\right)^{T}, \xi_{2}=\left(a_{21}, a_{22}, \cdots, a_{2,2 n}\right)^{T}, \cdots, \xi_{n}=\left(a_{n 1}, a_{n 2}, \cdots, a_{n, 2 n}\right)^{T}$,
$k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}$ 为任意常数.

解析:

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