设 $y=f(x)$ 是区间 $[0,1]$ 上的任一非负连续函数.
(1) 试证存在 $x_{0} \in(0,1)$, 使得在区间 $\left[0, x_{0}\right]$ 上以 $f\left(x_{0}\right)$ 为高的矩形面积, 等于在区间 $\left[x_{0}, 1\right]$ 上以 $y=f(x)$ 为曲边的梯形面积.
(2) 又设 $f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 内可导,且 $f^{\prime}(x)>-\frac{2 f(x)}{x}$, 证明 $(1)$ 中的 $x_{0}$ 是唯一的.