题号:1078    题型:解答题    来源:1998年全国硕士研究生招生考试试题
设 $y=f(x)$ 是区间 $[0,1]$ 上的任一非负连续函数.
(1) 试证存在 $x_{0} \in(0,1)$, 使得在区间 $\left[0, x_{0}\right]$ 上以 $f\left(x_{0}\right)$ 为高的矩形面积, 等于在区间 $\left[x_{0}, 1\right]$ 上以 $y=f(x)$ 为曲边的梯形面积.
(2) 又设 $f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 内可导,且 $f^{\prime}(x) > -\frac{2 f(x)}{x}$, 证明 $(1)$ 中的 $x_{0}$ 是唯一的.
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答案:
(1) 要证 $\exists x_{0} \in(0,1)$, 使 $x_{0} f\left(x_{0}\right)=\int_{x_{0}}^{1} f(x) d x$; 令 $\varphi(x)=x f(x)-\int_{x}^{1} f(t) d t$, 要证 $\exists x_{0} \in(0,1)$, 使 $\varphi\left(x_{0}\right)=0$. 可以对 $\varphi(x)$ 的原函数 $\Phi(x)=\int_{0}^{x} \varphi(t) d t$ 使用罗尔定理:
$$
\Phi(0)=0,
$$
$$
\begin{aligned}
\Phi(1) &=\int_{0}^{1} \varphi(x) d x=\int_{0}^{1} x f(x) d x-\int_{0}^{1}\left(\int_{x}^{1} f(t) d t\right) d x \\
& \stackrel{\text { 分音 }}{=} \int_{0}^{1} x f(x) d x-\left[\left.x \int_{x}^{1} f(t) d t\right|_{x=0} ^{x=1}+\int_{0}^{1} x f(x) d x\right]=0,
\end{aligned}
$$
又由 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 连续 $\Rightarrow \varphi(x)$ 在 $[0,1]$ 连续, $\Phi(x)$ 在 $[0,1]$ 连续, 在 $(0,1)$ 可导. 根据罗尔定 理, $\exists x_{0} \in(0,1)$, 使 $\Phi^{\prime}\left(x_{0}\right)=\varphi\left(x_{0}\right)=0$.
(2) 由 $\varphi^{\prime}(x)=x f^{\prime}(x)+f(x)+f(x)=x f^{\prime}(x)+2 f(x) > 0$, 知 $\varphi(x)$ 在 $(0,1)$ 内单调增, 故 (1) 中的 $x_{0}$ 是唯一的.
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