【ID】1070 【题型】单选题 【类型】考研真题 【来源】1998年全国硕士研究生招生考试试题
设矩阵 $\left(\begin{array}{lll}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{array}\right)$ 是满秩的, 则直线 $\frac{x-a_{3}}{a_{1}-a_{2}}=\frac{y-b_{3}}{b_{1}-b_{2}}=\frac{z-c_{3}}{c_{1}-c_{2}}$ 与直线 $\frac{x-a_{1}}{a_{2}-a_{3}}=\frac{y-b_{1}}{b_{2}-b_{3}}=$ $\frac{z-c_{1}}{c_{2}-c_{3}}(\quad)$
$A.$ 相交于一点 $B.$ 重合 $C.$ 平行倡不重合 $D.$ 异面
答案:
A

解析:

设 $L_{1}: \frac{x-a_{3}}{a_{1}-a_{2}}=\frac{y-b_{3}}{b_{1}-b_{2}}=\frac{z-c_{3}}{c_{1}-c_{2}}, L_{2}: \frac{x-a_{1}}{a_{2}-a_{3}}=\frac{y-b_{1}}{b_{2}-b_{3}}=\frac{z-c_{1}}{c_{2}-c_{3}}$, 题设矩阵$\left[\begin{array}{lll}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{array}\right]$ 是满秩的, 则由行列式的性质, 可知
故向量组 $\left(a_{1}-a_{2}, b_{1}-b_{2}, c_{1}-c_{2}\right)$ 与 $\left(a_{2}-a_{3}, b_{2}-b_{3}, c_{2}-c_{3}\right)$ 线性无关, 否则由线性相关的定
义知, 一定存在 $k_{1}, k_{2}$, 使得 $k_{1}\left(a_{1}-a_{2}, b_{1}-b_{2}, c_{1}-c_{2}\right)+k_{2}\left(a_{2}-a_{3}, b_{2}-b_{3}, c_{2}-c_{3}\right)=0$, 这样 上面行列式经过初等行变换值应为零, 产生矛盾.
$\left(a_{1}-a_{2}, b_{1}-b_{2}, c_{1}-c_{2}\right)$ 与 $\left(a_{2}-a_{3}, b_{2}-b_{3}, c_{2}-c_{3}\right)$ 分别为 $L_{1}, L_{2}$ 的方向向量, 由方向向 量线性相关, 两直线平行, 可知 $L_{1}, L_{2}$ 不平行.
$$
\text { 又由 } \begin{aligned}
\frac{x-a_{3}}{a_{1}-a_{2}}=\frac{y-b_{3}}{b_{1}-b_{2}}=\frac{z-c_{3}}{c_{1}-c_{2}} \text { 得 } \\
\frac{x-a_{3}}{a_{1}-a_{2}}-1=\frac{y-b_{3}}{b_{1}-b_{2}}-1=\frac{z-c_{3}}{c_{1}-c_{2}}-1,
\end{aligned}
$$


$$
\frac{x-a_{3}-\left(a_{1}-a_{2}\right)}{a_{1}-a_{2}}=\frac{y-b_{3}-\left(b_{1}-b_{2}\right)}{b_{1}-b_{2}}=\frac{z-c_{3}-\left(c_{1}-c_{2}\right)}{c_{1}-c_{2}} .
$$
同样由 $\frac{x-a_{1}}{a_{2}-a_{3}}=\frac{y-b_{1}}{b_{2}-b_{3}}=\frac{z-c_{1}}{c_{2}-c_{3}}$, 得
$$
\frac{x-a_{1}}{a_{2}-a_{3}}+1=\frac{y-b_{1}}{b_{2}-b_{3}}+1=\frac{z-c_{1}}{c_{2}-c_{3}}+1,
$$
即 $\frac{x-a_{1}+\left(a_{2}-a_{3}\right)}{a_{2}-a_{3}}=\frac{y-b_{3}+\left(b_{2}-b_{3}\right)}{b_{2}-b_{3}}=\frac{z-c_{3}+\left(c_{2}-c_{3}\right)}{c_{2}-c_{3}}$,
可见 $L_{1}, L_{2}$ 均过点 $\left(a_{2}-a_{1}-a_{3}, b_{2}-b_{1}-b_{3}, c_{2}-c_{1}-c_{3}\right)$, 故两直线相交于一点, 选 (A).

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