题号:1069    题型:单选题    来源:1998年全国硕士研究生招生考试试题
已知函数 $y=y(x)$ 在任意点 $x$ 处的增量 $\Delta y=\frac{y \Delta x}{1+x^{2}}+\alpha$, 且当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时, $\alpha$ 是 $\Delta x$ 的高阶无穷 小, $y(0)=\pi$, 则 $y(1)$ 等于 $(\quad)$
$A.$ $2 \pi$. $B.$ $\pi$. $C.$ $\mathrm{e}^{\frac{\pi}{4}}$. $D.$ $\pi \mathrm{e}^{\frac{\pi}{4}}$.
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答案:
D

解析:

由 $\Delta y=\frac{y \Delta x}{1+x^{2}}+\alpha$, 有 $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y}{1+x^{2}}+\frac{\alpha}{\Delta x}$.
令 $\Delta x \rightarrow 0$, 得 $\alpha$ 是 $\Delta x$ 的高阶无穷小, 则 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\alpha}{\Delta x}=0$,
$$
\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}\left(\frac{y}{1+x^{2}}+\frac{\alpha}{\Delta x}\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{y}{1+x^{2}}+\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\alpha}{\Delta x}=\frac{y}{1+x^{2}}
$$
即 $\frac{d y}{d x}=\frac{y}{1+x^{2}}$.
分离变量, 得 $\frac{d y}{y}=\frac{d x}{1+x^{2}}$,
两边积分, 得 $\ln |y|=\arctan x+C$, 即 $y=C_{1} e^{\arctan x}$.
代入初始条件 $y(0)=\pi$, 得 $y(0)=C_{1} e^{\arctan 0}=C_{1}=\pi$. 所以, $y=\pi e^{\arctan x}$.

$$
y(1)=\left.\pi e^{\arctan x}\right|_{x=1}=\pi e^{\arctan 1}=\pi e^{\frac{\pi}{4}} .
$$
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