题号:1068    题型:单选题    来源:1998年全国硕士研究生招生考试试题
函数 $f(x)=\left(x^{2}-x-2\right)\left|x^{3}-x\right|$ 不可导点的个数是 $(\quad)$
$A.$ 3 $B.$ 2 $C.$ 1 $D.$ 0
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答案:
B

解析:

当函数中出现绝对值号时, 就有可能出现不可导的 “尖点”, 因为这时的函数是 分段函数. $f(x)=\left(x^{2}-x-2\right)|x|\left|x^{2}-1\right|$, 当 $x \neq 0, \pm 1$ 时 $f(x)$ 可导, 因而只需在 $x=0, \pm 1$ 处 考察 $f(x)$ 是否可导. 在这些点我们分别考察其左、右导数.
$$
\begin{aligned}
\text { 由 } \quad f(x) &= \begin{cases}\left(x^{2}-x-2\right) x\left(1-x^{2}\right), & x < -1, \\
\left(x^{2}-x-2\right) x\left(x^{2}-1\right), & -1 \leq x < 0, \\
\left(x^{2}-x-2\right) x\left(1-x^{2}\right), & 0 \leq x < 1, \\
\left(x^{2}-x-2\right) x\left(x^{2}-1\right), & 1 \leq x,\end{cases} \\
\Rightarrow \quad f_{-}^{\prime}(-1) &=\lim _{x \rightarrow-1^{-}} \frac{f(x)-f(-1)}{x+1}=\lim _{x \rightarrow-1^{-}} \frac{\left(x^{2}-x-2\right) x\left(1-x^{2}\right)-0}{x+1}=0, \\
f_{+}^{\prime}(-1) &=\lim _{x \rightarrow-1^{+}} \frac{f(x)-f(-1)}{x+1}=\lim _{x \rightarrow-1^{+}} \frac{\left(x^{2}-x-2\right) x\left(1-x^{2}\right)-0}{x+1}=0,
\end{aligned}
$$
即 $f(x)$ 在 $x=-1$ 处可导. 又
$$
\begin{aligned}
&f_{-}^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\left(x^{2}-x-2\right) x\left(x^{2}-1\right)-0}{x}=2, \\
&f_{+}^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\left(x^{2}-x-2\right) x\left(1-x^{2}\right)-0}{x}=-2,
\end{aligned}
$$
所以 $f(x)$ 在 $x=0$ 处不可导.
类似, 函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处亦不可导. 因此 $f(x)$ 只有 2 个不可导点, 故应选 (B).
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